Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

Calcule a integral

∫ x 1 - tanh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x d x

Passo 1

Reescrever a integral aplicando a distributiva para as funções hiperbólicas:

Essa integral fica bem mais tranquila de resolver se aplicarmos a distributiva. Mas cuidado! Temos funções hiperbólicas misturadas com não hiperbólicas, então, pra não misturar tudo, vamos primeiro ver só como a distributiva fica pras hiperbólicas, beleza? Dá só uma olhada:

∫ x 1 - tanh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x d x =   ∫ x cosh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x . tanh 2 ⁡ x d x

Eita, parece que complicou mais! Mas não é bem assim. Se lembrarmos que:

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x

Podemos substituir então:

∫ x cosh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x . ⁡ sinh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x d x

∫ x cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a integral usando propriedades das funções hiperbólicas:

Ta, ok, mas e agora? Reescrevi a integral, o que eu faço? Relaxa fera, a gente vai tirar de letra agora, quer ver? Uma das propriedades das funções hiperbólicas é que:

cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1

Então nossa integral se reduz ainda mais e fica:

∫ x 1 d x = ∫ x d x

E dada a regrinha:

∫ a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b ∈ Z ,     b ≠ - 1

Fechamos com:

∫ x d x = x 2 2 + C

Passo 3

∫ x 1 - tanh 2 ⁡ x cosh 2 ⁡ x d x = x 2 2 + C

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