1. Seja f x = ∫ 0 sin ⁡ x e 1 - t 2 d t ,   x ∈ R . A derivada de f é dada por
  1. f ' x = sin ⁡ x e cos 2 ⁡ x
  2. f ' x = e cos 2 ⁡ x
  3. f ' x = cos ⁡ x e cos 2 ⁡ x
  4. f ' x = - cos ⁡ x e 1 - sin 2 ⁡ x

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bom? Nessa questão o problema nos apresenta uma integral e nos pede a sua derivada.

Uma forma de se resolver essa questão é resolver a integral dada, encontrar a nossa f x e depois derivamos. Mas essa forma vai demandar um pouquinho mais de tempo e podemos resolver a questão de forma mais simples.

O que podemos fazer aqui é simplesmente aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. Assim a gente resolver a questão mais rápido e minimizando a possibilidade de erro.

Lembrando que pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que

f t = ∫ f ' t d t  

E pela regra da cadeia, temos que

f h x ' = h ' x f ' h x

Juntado as duas informações temos que,

d d x ∫ 0 h x f ( t )   d t   = f h x h ' x

Bora lá!

Passo 2

O enunciado nos deu a seguinte integral,

f x = ∫ 0 sin ⁡ x e 1 - t 2 d t

Com isso, temos que f t = e 1 - t 2 e h x = sin ⁡ x . Logo,

f ' x = e 1 - sin 2 ⁡ x ( sin ⁡ x ) '

f ' x = e 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x

Repara que não temos essa opção no enunciado! Então temos que ajeitar a função.

Passo 3

Lembra da seguinte identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Opaaa, repara que pode escrever,

1 - sin 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x

Logo,

f ' x = cos ⁡ x e cos 2 ⁡ x

Opaaa! A resposta é a letra C.

Resposta

Letra C

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