1 9 . Sejam l e m números reais tais que 0 < l < m . Seja f uma função tal que f ' e f ' ' são funções contínuas para todo x ∈ R . Se

f ' 0 = l - m   e   ∫ 0 4 f ' ' x d x = m ,

então podemos afirmar que, necessariamente,

A : f é decrescente em ( 0,4 ) .

B : f é crescente em ( 0,4 ) .

C : existe c ∈ ( 0,4 ) tal que f tem um mínimo local em c .

D : O gráfico de f é côncavo para cima em ( 0,4 ) .

E : existe c ∈ ( 0,4 ) tal que f tem um máximo local em c .

Passo 1

Vem comigo detonar com essa questão juntos!

Para analisarmos cada alternativa temos que mexer um pouco nas informações que temos. Primeiro:

f ' 0 = l - m

Como m > l temos que f ' 0 < 0 .

Temos também que:

∫ 0 4 f ' ' x d x = m

Fazendo essa integral, temos:

f ' 4 - f ' 0 = m

Usando o que sabemos de f ' ( 0 ) :

f ' 4 - l + m = m

⇒ f ' 4 = l > 0

Passo 2

Vamos analisar a alternativa A .

Para uma função ser decrescente em um intervalo, sua derivada tem que ser negativa nesse intervalo.

Nós temos que f ' 4 > 0 então f não é decrescente em todo o intervalo, então a alternativa A está errada.

Passo 3

Vamos analisar a alternativa B .

Para uma função ser crescente em um intervalo, sua derivada tem que ser positiva nesse intervalo.

Nós temos que f ' 0 < 0 então f não é crescente em todo o intervalo, então a alternativa B está errada.

Passo 4

Vamos ver a C agora.

Para um ponto c ∈ ( 0,4 ) ser um ponto de máximo ou mínimo a derivada de f tem que ser zero em algum ponto de ( 0,4 ) .

Como já vimos antes, temos que:

f ' 0 < 0

f ' 4 > 0

Então se f ' tinha um valor negativo no início do intervalo e positiva no final do intervalo então ela teve que ser zero em algum ponto c .

Agora como f é decrescente a partir de x = 0 e depois ela fica crescente em x = 4 , então x = c é um ponto de mínimo local.

Então a letra C está certa e ela a nossa resposta!

Resposta

C : existe c ∈ ( 0,4 ) tal que f tem um mínimo local em c .

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