Verifique que as funções abaixo não dependem de x . Note que, procedendo como acima, é possível fazer isso sem saber a primitiva das funções que estão integradas

b )   f x = ∫ - cos ⁡ x s e n   x 1 1 - t 2 d t ,   p a r a   x ∈ ( 0 ,   π / 2 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = ∫ - cos ⁡ x s e n   x 1 1 - t 2 d t

E pediu para verificarmos que essa função não depende de x ! Mas, o que seria isso? Seria que a derivada dela em relação a x é zero!

Anota aí!

E o que tem a ver isso com o exercício anterior? Bom, no anterior vimos como calcular a derivada da função x quando ela é composta com uma integral (como nesse caso) e o limite superior é uma função c ( x ) qualquer:

f x = ∫ 0 c x F ( t ) d t → f ' x = F c x . c ' ( x )

Então a ideia aqui é: aplicar o conhecimento adquirido no exercício anterior para calcular a derivada de f ( x ) e verificar que essa derivada é nula!

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é definida como uma integral em t cujos limites são duas funções:

f x = ∫ - cos ⁡ x s e n   x 1 1 - t 2 d t

No entanto, para aplicar o que vimos no exercício anterior, o limite inferior da integral deve ser constante e o superior uma função, então precisamos quebrar essa integral!

f x = ∫ - cos ⁡ x 0 1 1 - t 2 d t + ∫ 0 s e n x 1 1 - t 2 d t

E já está pronto? Ainda não! Vamos agora inverter os limites de integração da integral mais à esquerda, assim teremos a integral no formato do nosso teorema!

f x = - ∫ 0 - cos ⁡ x 1 1 - t 2 d t + ∫ 0 s e n x 1 1 - t 2 d t

Lembra que toda vez que você inverter os limites de integração, precisa trocar o sinal que está na frente dessa integral!

beleza? Agora vamos ao que vimos no exercício anterior!

Passo 3

Depois de separada nossa função ficou assim

f x = - ∫ 0 - cos ⁡ x 1 1 - t 2 d t + ∫ 0 s e n x 1 1 - t 2 d t

E queremos calcular a derivada dessa função! Então vamos derivar em separado, cada uma dessas integrais, passo a passo! No exercício anterior aprendemos que

f x = ∫ 0 c x F ( t ) d t → f ' x = F c x . c ' ( x )

Na integral mais a esquerda a função c x = - cos ⁡ x , e c ' x = s e n   x . Aí a derivada dessa parte vai ser:

- ∫ 0 - cos ⁡ x 1 1 - t 2 d t ' = - 1 1 - cos 2 ⁡ x . s e n   x = - s e n x s e n 2 x = - s e n x s e n x = - 1

Beleza até aqui?

Agora a derivada da integral mais à direita. Ela tem como limite superior função c x = s e n   x , e a derivada é c ' x = cos ⁡ x , aí a derivada dessa integral fica assim

∫ 0 s e n x 1 1 - t 2 d t ' = 1 1 - s e n 2 x . cos ⁡ x = cos ⁡ x cos 2 ⁡ x = cos ⁡ x cos ⁡ x   = 1

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora vamos juntar esses resultados!

f x = - ∫ 0 - cos ⁡ x 1 1 - t 2 d t + ∫ 0 s e n x 1 1 - t 2 d t

Como a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' x = - ∫ 0 - cos ⁡ x 1 1 - t 2 d t ' + ∫ 0 s e n x 1 1 - t 2 d t '

f ' x = - 1 + 1 = 0

Encontramos que a derivada de f em relação a x é zero! Então isso significa que a função independe de x !

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a integral indefinida geral. ∫ v v 2 + 2 2   d x
Ache a integral indefinida geral.12 . int (x^2 + 1 + (1)/(x^2 + 1)) d x
Ache a integral indefinida geralint (c o s s e c^2 t - 2 e^t) . d t
Ache a integral indefinida geral.15 . int (theta - csc theta cot theta) d theta
Calcule os momentos M x e M y e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados