Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2012.1 - 2 d

Calcule as integrais:

( d ) ∫ x 2 - 3 2 x d x

Passo 1

Bem, temos que resolver essa integral indefinida aí em cima. Considerando que só sabemos integrais imediatas, porque ainda não aprendemos nenhum método de integração mirabolante, precisamos encontrar uma forma de fazer isso aí ficar com cara de algo que a gente saiba resolver.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pensa bem: essa integral é formada apenas por polinômios. Ora, se nós abrirmos o polinômio x 2 - 3 2 e depois dividirmos cada termo por x nós teremos apenas potências de x , o que significa que conseguiríamos resolver tudo através de integrais de polinômio.

∫ x 2 - 3 2 x d x = ∫ x 4 - 6 x 2 + 9 x d x

Lembrando que x = x 1 2 e que 9 é o mesmo que 9 x 0 :

∫ x 4 - 6 x 2 + 9 x 1 2 d x

= ∫ x 4 - 1 2 - 6 x 2 - 1 2 + 9 x 0 - 1 2 d x = ∫ x 7 2 - 6 x 3 2 + 9 x - 1 2 d x

Agora é só integrar, lembrando da regra de derivação de polinômios e sem esquecer da constante de integração, hein??

= x 7 2 + 1 7 2 + 1 - 6 x 3 2 + 1 3 2 + 1 + 9 x - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C

= x 9 2 9 2 - 6 x 5 2 5 2 + 9 x 1 2 1 2 + C

= 2 x 9 2 9 - 2 .   6 x 5 2 5 + 2 .   9 x 1 2 + C

Se quisermos deixar mais bonitinho, podemos colocar 2     e x 1 2 em evidência:

= 2 x 4 9 - 6 x 2 5 + 9 x 1 2 + C

Resposta

∫ x 2 - 3 2 x d x = 2 x 4 9 - 6 x 2 5 + 9 x 1 2 + C

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