Lembrando que duas funções que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem por uma constante, determine a função y ( x ) que satisfaz as condições abaixo.

d )   y ' ( x )   =   2 x ( 1 - x - 3 )   e o gráfico de y passa pelo ponto ( 2,3 )

Passo 1

Ooi gente, como está a semana de vocês? Bora levantar o astral e resolver esse probleminha?

Caso ninguém tenha falado isso hoje pra vocês:

Bom a questão quer que encontremos a função primitiva e sua respectiva constante, é por isso que a questão nos informa a derivada ( y ' ) e um ponto que pertence a nossa função ( y ) em questão. Me ajudem, como poderemos iniciar???

Passo 2

Gente, o primeiro passo é encontrar a função primitiva por meio da aplicação da integral e em seguida deveremos substituir o ponto em questão para encontrarmos a respectiva constante. Bora lá!

∫ y ' ( x )   = ∫ 2 x ( 1 - x - 3 )   d x = 2 ∫ x ( 1 - x - 3 )   d x = 2 ∫ ( x   - 1 x ² )   d x      

Depois de retirar a constante da integral e expandir a multiplicação x ( 1 - x - 3 ) , basta que apliquemos a integral da soma.

∫ y ' ( x ) = 2 ∫ ( x   - 1 x ² )   d x     +   K   = 2 ( ∫ x   d x   - ∫ 1 x ²   d x )   +   K    

Passo 3

Precisamos nesse instante calcular cada uma das integrais.

∫ x   d x   =   x 1 = 1 1 + 1   =   x ² 2

∫ 1 x ²   =   ∫ x - 2   = x - 2 + 1 - 2 + 1   =   - 1 x  

Assim,

∫ y ' ( x )   = 2 ( ∫ x   d x   - ∫ 1 x ²   d x )   =   2 ( x ² 2   - ( - 1 x ) )   = x ² + 2 x   +   K  

Passo 4

Como já sabemos que a nossa função y ( x )   =   x ² + 2 x   +   K e temos que o enunciado informa que y ( 2 )   =   3 . Portanto, é possível descobrir o valor da constante K .

y ( x )   =   x ² + 2 x   +   K

y ( 2 )   =   2 ² + 2 2   +   K   =   3   →   4   + 1   + K   = 3

K   =   - 2

Dessa forma, conclui-se que a resolução particular será

y ( x )   =   x ² + 2 x   - 2

Bons estudos! Tenho orgulho de vocês :)

Resposta

y ( x )   =   x ² + 2 x   - 2

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