9.4. Seja F x = ∫ 1 x e - t 2 d t . Mostre que F x é de classe C 1 (ou seja, tem derivada contínua) e calcule F 1 .

Passo 1

Falaaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos mostrar que F x = ∫ 1 x e - t 2 d t é de classe C 1 , ou seja, mostrar que a sua derivada, F ' x é contínua. Depois vamos calcular F 1 .

Pra isso, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se f t é uma função contínua em a , b e g x = ∫ a x f t d t   com a ≤ x ≤ b , então g x também é contínua no intervalo a , b e g ' x = f x , no intervalo a , b .

Passo 2

Repara que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F x vai ser a função que está dentro da integral, então:

F ' x = e - x 2

E uma característica da função exponencial é que ela é contínua em todo o seu domínio, então a derivada de F ' x é de classe C 1 (tem derivada contínua).

Vamos lembrar também da propriedade de integrais de quando os limites de integração são iguais:

∫ a a f x d x = 0

Passo 3

Agora vamos calcular F 1 ...

Poooo vai dar mó trabalhão, né??

Então... substitui o 1 :

F 1 = ∫ 1 1 e - t 2 d t

Hum.... quando temos os dois limites de integraç��o iguais, a integral é igual a zero.

Portanto:

F 1 = 0

Resposta

0

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