Considere a função G x = ∫ 0 x 1 1 + t 4 d t definida para todo x real

  1. Determine G 0 e   G ' x .
  2. A seguinte desigualdade é verdade? G 3 - G 1 < 1 . Justifique.

Passo 1

Com prazer irei explicar em detalhes e fundamentar cada parte do problema.

Então bora comigo

D e t e r m i n a n d o   G 0

A função G x é uma integral definida que calcula a área sob a curva no intervalo 0 , x

Quando x = 0 ,   o intervalo de integração se torna [ 0,0 ] o que significa que estamos integrando sobre uma região de largura zero.

Uma região de largura zero tem uma área de zero, independentemente da função que está sendo integrada.

Portanto, G ( 0 ) é a área sob a curva no intervalo de largura zero, ou seja

G 0 = 0

Passo 2

D e t e r m i n a n d o   G ' x

A derivada da função G x em relação a x nos dará G ' x , ou seja, a taxa de variação instantânea da área sob a curva com relação a x .

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que a derivada de uma integral definida é a função integranda avaliada no limite superior da integral.

Nesse caso, a função integranda é

1 1 + t 4

e estamos avaliando-a no limite superior da integral, que é x :

G ' x = 1 1 + x 4

Resposta

G ( 0 )   =   0

G ' ( x )   =   1 1 + x 4

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