9.6 Seja H x = ∫ x 2 x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t . Calcule H ' 0 .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular H ' x , sabendo que H x = ∫ x 2 x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t .

Pra isso, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se f t é uma função contínua em a , b e g x = ∫ a x f t d t   com a ≤ x ≤ b , então g x também é contínua no intervalo a , b e g ' x = f x , no intervalo a , b .

Da propriedade de integral que diz que se tivermos uma integral com intervalo de integração de a até b , podemos dividi-la em duas, com intervalos de integração de a até c e de c   até b :

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

E outra propriedade que diz que podemos trocar os intervalos de integração, mas isso muda o sinal da integral:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Passo 2

É tentador a gente dizer H ' x = 1 + t 8 1 + t 2 , né? Mas NÃO pode. Repara que pra usar o Teorema Fundamental do Cálculo precisamos que o intervalo de integração de baixo seja uma constante e o de cima seja x .

A integral do exercício não está do jeito que precisa, mas podemos manipular...

Dividindo em duas integrais (propriedade):

∫ x 2 x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t = ∫ x 2 c 1 + t 8 1 + t 2 d t + ∫ c x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t

Na primeira integral queremos mandar o x pra cima e a constante pra baixo, né? Podemos inverter os limites de integração e colocar o sinal de menos na frente (propriedade):

∫ x 2 x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t = - ∫ c x 2 1 + t 8 1 + t 2 d t + ∫ c x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t

Passo 3

Agora queremos derivar, né?

Nas duas integrais nós não temos só x no limite de integração de cima. Quando temos alguma função no limite de integração de cima, nós usamos a regra da cadeia, que vai ser só calcular a derivada desse limite de integração e multiplicar pelo resultado “normal” do teorema, lembrando que no lugar de onde seria x colocamos o limite de integração.

Pra primeira integral:

∫ c x 2 1 + t 8 1 + t 2 d t ' = 1 + x 2 8 1 + x 2 2 2 x

Pra segunda:

∫ c x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t ' = 1 + x 2 8 1 + x 2 2 2 x

Então:

H ' x = ∫ x 2 x 2 + 1 1 + t 8 1 + t 2 d t '

= 1 + x 2 8 1 + x 2 2 2 x + 1 + x 2 8 1 + x 2 2 2 x

Portanto:

H ' 0 = 1 + 0 2 8 1 + 0 2 2 2 0 + 1 + 0 2 8 1 + 0 2 2 2 0

= 0

Resposta

0

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