9.3 Calcule f ' x , com f x = ∫ x 3 x + 1 e t 2 d t .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular f ' x , sabendo que f x = ∫ x 3 x + 1 e t 2 d t .

Pra isso, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo que diz que se f t é uma função contínua em a , b e g x = ∫ a x f t d t   com a ≤ x ≤ b , então g x também é contínua no intervalo a , b e g ' x = f x , no intervalo a , b .

Da propriedade de integral que diz que se tivermos uma integral com intervalo de integração de a até b , podemos dividi-la em duas, com intervalos de integração de a até c e de c   até b :

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

E outra propriedade que diz que podemos trocar os intervalos de integração, mas isso muda o sinal da integral:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Passo 2

Pooo... é beeem tentador a gente dizer f ' x = e x 2 , né? Mas NÃO pode. Repara que pra usar o Teorema Fundamental do Cálculo precisamos que o intervalo de integração de baixo seja uma constante e o de cima seja x .

A integral do exercício não está do jeito que precisa, mas podemos manipular...

Dividindo em duas integrais (propriedade):

∫ x 3 x + 1 e t 2 d t = ∫ x c e t 2 d t + ∫ c 3 x + 1 e t 2 d t

Na primeira integral queremos mandar o x pra cima e a constante pra baixo, né? Podemos inverter os limites de integração e colocar o sinal de menos na frente (propriedade):

∫ x 3 x + 1 e t 2 d t = - ∫ c x e t 2 d t + ∫ c 3 x + 1 e t 2 d t

Passo 3

Agora queremos derivar, né?

Pra primeira integral já aplicamos direto o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ c x e t 2 d t ' = e x 2

Maaas a segunda nós não temos só x no limite de integração de cima. Quando temos alguma função no limite de integração de cima, nós usamos a regra da cadeia, que vai ser só calcular a derivada desse limite de integração e multiplicar pelo resultado “normal” do teorema, lembrando que no lugar de onde seria x colocamos o limite de integração:

∫ c 3 x + 1 e t 2 d t ' = e 3 x + 1 2 3

Então:

f ' x = ∫ x 3 x + 1 e t 2 d t '

= - e x 2 + 3 e 3 x + 1 2

Resposta

- e x 2 + 3 e 3 x + 1 2

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