Calcule as seguintes antiderivadas:

∫ x + 3 e 5 x + cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é calcular uma antiderivada. De forma matemática, é você supor uma função F ( x ) , tal que quando você a derivar, deve obter a função f ( x ) .

F ' x = f ( x )

De forma prática, quando a gente tem uma integral indefinida nesse rolê, precisamos ter em mente a seguinte relação:

∫ f ( x ) d x = F ' x + C

Agora falando de forma bem prática: você vai precisar integrar apenas e observar quem vai ser o carinha que vai aparecer do lado direito da igualdade.

Passo 2

Fazendo a antiderivada (integrando), vamos obter:

∫ x + 3 e 5 x + cos ⁡ 2 x d x

Bem, a integral que não sabemos fazer de cabeça (eu não sei kkk) é aquele último termo ali, então a melhor alternativa é usarmos o método da substituição!!

Passo 3

Vamos chamar u = 2 x

Derivando, temos: d u = 2 d x → d x = d u 2

Olhando pra nossa integral, temos agora:

∫ c o s ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ cos ⁡ u d u 2

1 2 ∫ c o s ⁡ ( u ) d u = 1 2   s e n ( u ) + C 3

Mas quem é u ? Definimos lá no início do passo 3, logo:

1 2   s e n ( u ) + C 3 = 1 2 s e n ( 3 x ) + C 3

Onde C 3 é uma constante de integração qualquer.

Passo 4

Vamos agora fazer as outras derivadas:

∫ x d x = x 2 2 + C 1

∫ 3 e 5 x d x = 3 × 1 5 e 5 x + C 2

Portanto, ao final temos:

∫ x + 3 e 5 x + cos ⁡ 2 x d x = x 2 2 + C 1 + 3 5 e 5 x + C 2 + 1 2 s e n 2 x + C 3

∫ x + 3 e 5 x + cos ⁡ 2 x d x = 1 2 s e n 2 x + x 2 + 3 5 e 5 x + C

Onde C = C 1 + C 2 + C 3

Logo, nossa antiderivada é: 1 2 s e n 2 x + x 2 + 3 5 e 5 x +

Resposta

F ' x = 1 2 s e n 2 x + x 2 + 3 5 e 5 x +

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