A integral indefinida

∫ x 5 + x - 1 x 3 + 1 d x

É igual a:

  1. x 5 + x - 1 ln ⁡ x 3 + 1
  2. x 3 3 - ln ⁡ 1 + x
  3. x 6 6 - t g - 1 ( x )
  4. x 5 + t g - 1 1 x + 1
  5. x 5 + x - 1 + ln ⁡ 1 + x

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa integral aqui

∫ x 5 + x - 1 x 3 + 1 d x

E pediu para encontrarmos o resultado! Xí, ferrou! Mas não, calma!

Temos uma razão entre dois polinômios, sendo que o polinômio do numerador tem grau maior do que o do denominador, então aqui vai minha dica pra você resolver quando for assim:

DIVISÃO DE POLINÔMIOS!

A ideia é simplificar ao máximo essa fração, e fazendo a divisão desses polinômios, podemos escrever o polinômio do numerador como uma multiplicação do denominador (que será nosso divisor) pelo quociente e somar com o resto

Assim vamos conseguir simplificar essa fração e poder integrar! Sempre que o numerador tiver potência maior que o denominador, quase sempre o caminho é esse!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O integrando dado foi esse aqui:

x 5 + x - 1 x 3 + 1

Vamos fazer a divisão do numerador ( x 5 + x - 1 ) pelo denominador ( x 3 + 1 ) :

Pensa comigo, qual termo preciso multiplicar o x 3 para obter x 5 ? O x 2 ! Então é por aí que começamos o quociente!

Como o grau do resto é menor do que o grau do divisor, paramos a divisão por aqui!

Tranquilo até aqui?

Agora vamos escrever o polinômio do denominador ( D ) como a multiplicação do quociente ( Q ) pelo divisor ( d ) , mais o resto ( R ) :

D = x 5 + x - 1

d = x 3 + 1

Q = x 2

R = - x 2 + x - 1

Aí temos

D = d . Q + R

x 5 + x - 1 = x 2 x 3 + 1 + - x 2 + x - 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos substituir essa fatoração no nosso integrando:

x 5 + x - 1 x 3 + 1 = x 2 x 3 + 1 + - x 2 + x - 1 x 3 + 1 = x 2 x 3 + 1 x 3 + 1 + - x 2 + x - 1 x 3 + 1

Separando em duas frações, já podemos cortar o termo ( x 3 + 1 ) e simplificar a primeira fração do lado direito!

x 5 + x - 1 x 3 + 1 = x 2 + - x 2 + x - 1 x 3 + 1

Já na segunda fração precisamos de mais uns truques sujos! Aqui o truque é FATORAÇÃO DE CUBOS!

Esse truque vira e mexe aparece, e é sempre bom a gente relembrar:

x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 - x y + y 2 )

No nosso caso x 3 = x 3 e y 3 = 1 , então podemos escrever o denominador da segunda fração em termos dessa fatoração:

x 5 + x - 1 x 3 + 1 = x 2 + - x 2 + x - 1 ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

Viu ali o que apareceu? No numerador temos - x 2 + x - 1 e no denominador ( x 2 - x + 1 ) que é o oposto do numerador! Então podemos simplificar e ficamos apenas com ( - 1 ) !

Ficamos com o seguinte:

x 5 + x - 1 x 3 + 1 = x 2 + - 1 1 ( x + 1 )

Bem mais simples né?

Vamos integrar essa coisa agora?

Passo 4

Voltando para nossa integral:

∫ x 5 + x - 1 x 3 + 1 d x = ∫ x 2 d x - ∫ 1 ( x + 1 ) d x

A primeira integral vamos resolver pela regra da potência, e a segunda vamos fazer uma substituição simples u = x + 1 e d u = d x e ficaremos com a integral de 1 / u que é ln ⁡ u :

∫ x 5 + x - 1 x 3 + 1 d x = x 3 3 - ln ⁡ x + 1 + C

E a resposta certa está na alternativa (B)!

E é isso! Espero ter ajudado!

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

B   x 3 3 - ln ⁡ x + 1 + C  

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