Considere a função

f x = ∫ 2 s e n   ( x ) 1 + t 4 d t

Qual o valor da derivada f ' π 3 ? (dê a resposta em representação decimal).

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Vamos considerar a seguinte integral:

∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t

Ela é igual a:

G f 2 x - G ( f 1 x )

Sendo G ( t ) uma primitiva da função g ( t ) . Diferenciando em relação a x:

d d x ∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) g ( t ) d t = d d x G f 2 x - d d x G ( f 1 x )

d d x G f 2 x - d d x G f 1 x = f 2 ' x g f 2 x - f 1 ' x g f ( 1 ( x ) )

Passo 2

Belezinha, já temos o básico da função. Agora, resolvendo para a nossa função:

d d x ∫ 2 s e n   ( x ) 1 + t 4 d t = d   s e n   x d x ⋅ 1 + s e n 4   x - d   2 d x   1 + 2 4

Mas sabemos que d   2 d x = 0 , Logo,

d d x ∫ 2 s e n   ( x ) 1 + t 4 d t = d   s e n   x d x ⋅ 1 + s e n 4   x - 0

Resolvendo essa derivada:

d   s e n   x d x ⋅ 1 + s e n 4   x = c o s c o s   x   ⋅ 1 + s e n 4   x

Ou seja,

f ' x = c o s c o s   x   ⋅ 1 + s e n 4   x

Passo 3

Para o que a função pede, que é f ' π 3 , basta:

f ' π 3 = c o s c o s   π 3 ⋅ 1 + s e n 4 π 3  

f ' π 3 = 0,62

Resposta

e x i s t e   c o n t i u i d a d e

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