Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

Calcule a integral:

∫ 1 sen ⁡ x - 1 d x

Passo 1

Hmmm. Para calcular essa integral, não parece ter nenhuma substituição de cara. E também outras técnicas não parecem convenientes. Vamos tentar resolvê-la forçando alguma identidade trigonométrica então.

Sabemos que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ⟹ sen 2 ⁡ x - 1 = - cos 2 ⁡ x

Então vamos tentar formar o termo ao quadrado aparecer no denominador da integral. Para tal, multiplicamos pelo conjugado dele:

∫ 1 sen ⁡ x - 1 d x = ∫ 1 sen ⁡ x - 1 ⋅ sen ⁡ x + 1 sen ⁡ x + 1 d x = ∫ sen ⁡ x + 1 sen 2 ⁡ x - 1 d x

= - ∫ sen ⁡ x + 1 cos 2 ⁡ x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos separar a integral: - ∫ sen ⁡ x + 1 cos 2 ⁡ x d x = - ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ 1 cos ⁡ x d x - ∫ 1 cos 2 ⁡ x d x

Ficando:

… = - ∫ tg ⁡ x sec ⁡ x d x - ∫ sec 2 ⁡ x d x

Que são integrais fundamentais: ∫ 1 sen ⁡ x - 1 d x = - sec ⁡ x - tg ⁡ x + C  

Resposta

∫ 1 sen ⁡ x - 1 d x = - sec ⁡ x - tg ⁡ x + C

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