1. Calcule as integrais:

b. ∫ x 5 ln ⁡ x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um integral indefinida para resolver.

∫ x 5 ln ⁡ x d x

Agora, repara que nessa integral temos o produto de funções de “tipos” diferentes. Temos uma função polinomial x 5 e uma função logarítmica ln ⁡ x .

Quando isso acontecer, a dica é utilizar a integração por partes. Para quem não lembra ele tem essa cara aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Agora bora aplicar!

Passo 2

A gente sempre começa definindo quem será a parte u e a parte d v da função. E agora vem a primeira dica para definirmos isso.

Vamos sempre priorizar essa ordem para chamar de u : Logaritmica; Inversa trigonométrica; Polinomial; Trigonométrica; e Exponencial.

Sendo asism, temos que

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Logo,

d v = x 5 d x → v = x 6 6

Agora vamos para a nossa integral!

Passo 3

Tinhamos,

∫ x 5 ln ⁡ x d x

Aplicando a integração por partes ficamos com

∫ x 5 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 6 6 - ∫ x 6 6 1 x d x

∫ x 5 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 6 6 - ∫ x 5 6 d x

Agora temos uma integral mais simples de se resolver!

Passo 4

Resolvendo a parte

∫ x 5 6 d x

Vamos aplicar a integração polinominal, onde

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Logo,

∫ x 5 6 d x = 1 6 x 6 6 = x 6 3 6 + C

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Tinhamos,

∫ x 5 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 6 6 - ∫ x 5 6 d x

Substituindo,

∫ x 5 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x x 6 6 - x 6 3 6 + C

Onde C é a nossa constante de integração.

Resposta

ln ⁡ x x 6 6 - x 6 3 6 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a integral indefinida geral. ∫ v v 2 + 2 2   d x
Ache a integral indefinida geral.12 . int (x^2 + 1 + (1)/(x^2 + 1)) d x
Ache a integral indefinida geralint (c o s s e c^2 t - 2 e^t) . d t
Ache a integral indefinida geral.15 . int (theta - csc theta cot theta) d theta
Calcule os momentos M x e M y e o centro de massa de uma lâmina com a densidade e o formato dados