3. Determine a derivada da função

g ( x ) = ∫ 1 x 4   1 + t 2 4 d t

Passo 1

Para determinar a derivada da função g ( x ) = ∫ 1 x 4   1 + t 2 4 d t , vamos aplicar a regra da cadeia para diferenciação de integrais. A regra da cadeia nos diz que a derivada da integral de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a integral da função externa.

Vamos definir a função F ( t ) que aparece na integral:

F ( t ) = ∫ 1 + t 2 4 d t

Agora, podemos reescrever a função g ( x ) em termos de F ( t ) :

g ( x ) = F x 4 - F ( 1 )

Vamos calcular a derivada de g ( x ) usando a regra da cadeia:

g ' ( x ) = d d x F x 4 - F ( 1 )

Pela regra da cadeia, a derivada da primeira parcela é:

d d x F x 4 = F ' x 4 ⋅ d d x x 4

Passo 2

E a derivada da segunda parcela é:

d d x [ F ( 1 ) ] = 0 ,

pois a integral é uma constante em relação a x .Agora, vamos calcular a derivada da função F ( t ) :

F ( t ) = ∫   1 + t 2 4 d t .

Usando as propriedades das integrais, podemos derivar termo a termo:

F ' ( t ) = 4 1 + t 2 3 ⋅ d d t 1 + t 2

F ' ( t ) = 4 1 + t 2 3 ⋅ 2 t

F ' ( t ) = 8 t 1 + t 2 3 .

Passo 3

Agora, vamos voltar para a derivada de  g ( x )  e substituir as derivadas calculadas:

g ' ( x ) = F ' x 4 ⋅ d d x x 4 - 0 .

g ' ( x ) = 8 x 4 1 + x 8 3 ⋅ 4 x 3 .

g ' ( x ) = 32 x 7 1 + x 8 3 .

Resposta

Portanto, a derivada da função  g ( x )  é  32 x 7 1 + x 8 3 .

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