Verifique que as funções abaixo não dependem de x . Note que, procedendo como acima, é possível fazer isso sem saber a primitiva das funções que estão integradas

a )   f x = ∫ 0 x 1 ( 1 + t 2 ) d t + ∫ 0 1 / x 1 ( 1 + t 2 ) d t ,   d e f i n i d a   p a r a   x > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos deu essa função aqui

f x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t + ∫ 0 1 x 1 1 + t 2 d t

E pediu para verificarmos que essa função não depende de x ! Mas, o que seria isso? Seria que a derivada dela em relação a x é zero!

Anota aí!

E o que tem a ver isso com o exercício anterior? Bom, no anterior vimos como calcular a derivada da função x quando ela é composta com uma integral (como nesse caso) e o limite superior é uma função c ( x ) qualquer:

f x = ∫ 0 c x F ( t ) d t → f ' x = F c x . c ' ( x )

Então a ideia aqui é: aplicar o conhecimento adquirido no exercício anterior para calcular a derivada de f ( x ) e verificar que essa derivada é nula!

e é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é definida como a soma de duas integrais

f x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t + ∫ 0 1 x 1 1 + t 2 d t

Na integral mais a esquerda a função c x = x , e c ' x = 1 . Aí a derivada dessa parte vai ser:

∫ 0 x 1 1 + t 2 d t ' = 1 1 + x 2 . 1 = 1 1 + x 2

Beleza até aqui?

Agora a derivada da integral mais à direita. Ela tem como limite superior função c x = 1 / x , e a derivada é c ' x = - 1 / x 2 , aí a derivada dessa integral fica assim

∫ 0 1 x 1 1 + t 2 d t ' = 1 1 + 1 x 2 . - 1 x 2 = - 1 x 2 + 1

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vamos juntar esses resultados!

f x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t + ∫ 0 1 x 1 1 + t 2 d t

Como a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t ' + ∫ 0 1 x 1 1 + t 2 d t '

f ' x = 1 1 + x 2 - 1 x 2 + 1 = 0

Encontramos que a derivada de f em relação a x é zero! Então isso significa que a função independe de x !

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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