Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

Integração por Substituição Simples

Calcule as três integrais abaixo:

b   ∫ 1 4 + x 2 d x ;

Passo 1

Essa integral é um pouco traiçoeira. Quando você olha para ela você pode pensar que há alguma mexida com polinômio, algum algebrismo para cair numa boa substituição ou até frações parciais. Sinto em dizer que o melhor jeito de resolvê-la não passa por nenhuma dessas. Acompanha aqui, eu quero transformar a cara dessa integral na mesma cara dessa aqui:

∫ 1 1 + x 2 d x

Pera, essa aí você lembra quanto dá? O resultado dessa integral aí é arctg ⁡ ( x ) , é uma integral indefinida tabelada já. Bom, como vamos fazer essa transformação? Ó aqui:

∫ 1 4 + x 2 d x = ∫ 1 4 1 + x 2 4 d x = 1 4 ∫ 1 1 + x 2 2 d x

E se eu chamar então esse x / 2 de outra variável?

u = x 2 ; d u = d x 2 → d x = 2 d u

Agora vou substituir no formato original:

1 4 ∫ 1 1 + x 2 2 d x = 1 4 ∫ 2 d u 1 + u 2

= 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = arctg ⁡ u 2 + C

= arctg ⁡ x 2 2 + C

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Resposta

∫ 1 4 + x 2 d x = arctg ⁡ x 2 2 +C

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