Calcule:

∫ 4 t 2 + cos ⁡ t + 1 t d t

Passo 1

Nessa questão, queremos resolver uma integral indefinida (observe a ausência de limites de integração).

Observe que a integral é formada por uma soma de funções, todas elas com integrais imediatas. É só utilizar as propriedades de integrais que já vimos e aquele resuminho de antiderivadas imediatas e TCHARANNN!

Passo 2

Já sabemos das propriedades de integrais que a integral da soma é igual à soma das integrais e que as constantes podem sair da integral. Logo, podemos reescrever a integral do enunciado como:

∫ 4 t 2 + cos ⁡ t + 1 t d t = 4 ∫ t 2 d t + ∫ cos ⁡ t   d t + ∫ 1 t d t

Passo 3

A primeira integral é uma integral de polinômio. Lembrando da regrinha de que integral de polinômio é dada somando 1 ao expoente e dividindo por expoente + 1 :

4 ∫ t 2 d t = 4 t 2 + 1 2 + 1 + C 1

4 ∫ t 2 d t = 4 t 3 3 + C 1

Passo 4

A antiverivada ou integral de cos ⁡ x   é s e n   x . Portanto:

∫ cos ⁡ t   d t = s e n   t   + C 2

Passo 5

E a integral de 1 t d t é ln ⁡ | t | , então:

∫ 1 t d t = ln ⁡ t + C 3

Passo 6

Juntando tudo:

∫ 4 t 2 + cos ⁡ t + 1 t d t = 4 t 3 3 + sen ⁡ t + ln ⁡ | t | + C

A constante C engloba as contantes C 1 ; C 2   e   C 3 anteriores.

Lembrando que você pode resolver essa integral em um único passo se se sentir seguro(a). Eu só dividi e fiz esse passo-a-passo para ficar bem mastigadinho e para você aproveitar e lembrar as propriedades, beleza? Na prática, quando cair no sangue, você vai resolver essa daí brincando!

Resposta

∫ 4 t 2 + cos ⁡ t + 1 t d t = 4 t 3 3 + sen ⁡ t + ln ⁡ | t | + C

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