Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

PUC-RJ - Cálculo 1 - P3 2009.1 - 1a

Calcule:

4 t 2 + cos t + 1 t d t

Passo 1

Nessa questão, queremos resolver uma integral indefinida (observe a ausência de limites de integração).

Observe que a integral é formada por uma soma de funções, todas elas com integrais imediatas. É só utilizar as propriedades de integrais que já vimos e aquele resuminho de antiderivadas imediatas e TCHARANNN!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já sabemos das propriedades de integrais que a integral da soma é igual à soma das integrais e que as constantes podem sair da integral. Logo, podemos reescrever a integral do enunciado como:

4 t 2 + cos t + 1 t d t = 4 t 2 d t + cos t   d t + 1 t d t

Passo 3

A primeira integral é uma integral de polinômio. Lembrando da regrinha de que integral de polinômio é dada somando 1 ao expoente e dividindo por expoente + 1 :

4 t 2 d t = 4 t 2 + 1 2 + 1 + C 1

4 t 2 d t = 4 t 3 3 + C 1

Passo 4

A antiverivada ou integral de cos x   é s e n   x . Portanto:

cos t   d t = s e n   t   + C 2

Passo 5

E a integral de 1 t d t é ln | t | , então:

1 t d t = ln t + C 3

Passo 6

Juntando tudo:

4 t 2 + cos t + 1 t d t = 4 t 3 3 + sen t + ln | t | + C

A constante C engloba as contantes C 1 ; C 2   e   C 3 anteriores.

Lembrando que você pode resolver essa integral em um único passo se se sentir seguro(a). Eu só dividi e fiz esse passo-a-passo para ficar bem mastigadinho e para você aproveitar e lembrar as propriedades, beleza? Na prática, quando cair no sangue, você vai resolver essa daí brincando!

Resposta

4 t 2 + cos t + 1 t d t = 4 t 3 3 + sen t + ln | t | + C

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