Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2009.2, Questão 2a

Calcule:

x + t g ( x ) d x

Passo 1

Pela propriedade de que integrais são distributivas, temos:

I = x d x + t g ( x ) d x

A primeira integral é mais simples de se resolver:

I 1 = x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 + C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a segunda, escrevemos em termo de seno e cosseno a função:

I 2 = s e n x cos x d x

Como sabemos que a função seno é a derivada do cosseno, fazemos a substituição simples:

v = cos x d v = - s e n x d x

d x = - d v s e n x

Segue que:

I 2 = s e n x v d v - s e n x

I 2 = - d v v

Passo 3

Esta nós sabemos fazer:

I 2 = - ln v + C

Substituindo de volta para x :

I 2 = - ln cos x + C

Pondo de volta na integral original, temos:

I = 2 3 x 3 2 - ln cos x + C

Resposta

2 3 x 3 2 - ln cos x + C

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