Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2015.2, Questão 4b

Calcule a integral:

1 sen x - 1 d x

Passo 1

Hmmm. Para calcular essa integral, não parece ter nenhuma substituição de cara. E também outras técnicas não parecem convenientes. Vamos tentar resolvê-la forçando alguma identidade trigonométrica então.

Sabemos que:

sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x - 1 = - cos 2 x

Então vamos tentar formar o termo ao quadrado aparecer no denominador da integral. Para tal, multiplicamos pelo conjugado dele:

1 sen x - 1 d x = 1 sen x - 1 sen x + 1 sen x + 1 d x = sen x + 1 sen 2 x - 1 d x

= - sen x + 1 cos 2 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos separar a integral: - sen x + 1 cos 2 x d x = - sen x cos x 1 cos x d x - 1 cos 2 x d x

Ficando:

= - tg x sec x d x - sec 2 x d x

Que são integrais fundamentais: 1 sen x - 1 d x = - sec x - tg x + C  

Resposta

1 sen x - 1 d x = - sec x - tg x + C

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