Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 18, Questão 6

Calcule a integral

x 9 - x 3 x 4 d x

Passo 1

Reescrever a integral como duas integrais

Essa integral fica bem mais tranquila de resolver se dividirmos ela em dois e simplificarmos. Duvida? Dá uma olhada então:

x 9 - x 3 x 4 d x = x 9 x 4 d x - x 3 x 4 d x

x 9 - x 3 x 4 d x = x 5 d x - 1 x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver as integrais separadamente

Agora ficou mel na chupeta, quer ver? Vê se você lembra dessa regrinha de integrais:

a t b d x = a t b + 1 b + 1 + C   ,     b Z ,     b - 1

Show de bola, é só aplicar essa regra agora:

x 5 d x = x 5 + 1 5 + 1 = x 6 6

Mas calma lá, essa regra não vale pra segunda integral! Isso porque b = - 1 na segunda integral. Agora, o que nós temos que fazer é lembrar que toda vez que deriávamos

ln x ' = 1 x

Sendo assim, a operação inversa, a integral, de 1 x vai ser:

1 x d x = ln x

Juntando os dois resultados:

x 9 - x 3 x 4 d x = x 6 6 - ln x + C

Resposta

x 9 - x 3 x 4 d x = x 6 6 - ln x + C

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