Exercícios Resolvidos de Anti-Derivação

UFF - Cálculo IA – GMa – 2008.2 – Lista 18 – 11

Calcule a integral abaixo

1 - x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Huum, de novo vamos pensar em transformar essa joça em algo que sabemos resolver com integrais imediatas.

Observa que o termo dentro da raiz é igualzinho ao termo que aparece no denominador? Se lembramos que 1 - x 2 = 1 - x 2 1 2 acho que fica mais fácil de visualizar que podemos dividir o numerador pelo denominador , não é mesmo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, olha o que eu vou fazer:

1 - x 2 1 - x 2 d x = 1 - x 2 1 2 1 - x 2 d x

= 1 - x 2 1 2 - 1 d x   =   1 - x 2 - 1 2 d x

Agora temos 1 - x 2 - 1 2 . Se voltarmos para a forma de raiz:

= 1 1 - x 2 d x

Passo 3

E aí? Lembrou que a temos uma integral direta para essa função de x ? Talvez você não lembre, mas essa integral cai na definição da derivada de arcsen   ( x ) . E é isso, nada mais a ser feito (pode estar parecendo mágica demais, mas o objetivo dessas questões é justamente que você tenha memorizado essas primitivas).

Ahh, só para não perder o costume: não esquece C !

1 1 - x 2 d x = arcsen ( x ) + C

Resposta

1 1 - x 2 d x =   arcsen ( x ) + C

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