Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Origem do Exercício

A ação de uma força de módulo F = 40,0 N aplicada na direção horizontal de um bloco de massa M = 3,0 k g , faz com que ele suba uum plano inclinado de θ = 37 ° com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado é μ c = 0,10 . Durante o trajeto, o bloco se desloca ao longo do plano uma distância d = 2,0 m . O bloco parte da base do plano e do repouso. Utilize: s e n 37 ° = 0 , 60 , cos ⁡ 37 ° = 0,80 ,   s e n 127 ° = 0,80 , cos ⁡ 127 ° = 0,60 .

  1. Calcule o trabalho efetuado por cada uma das forças que atuam no bloco durante o trajeto de subida ao longo do plano inclinado. Justifique seus cálculos.
  2. Calcule a variação da energia cinética durante todo o percurso. Justifique seu cálculo
  3. Suponha uma outra situação, onde o mesmo bloco sobe o plano inclinado sob a ação de uma outra força de módulo F aplicada na direção paralela ao plano inclinado. Existe atrito entre o bloco e o plano, mas neste caso, o módulo da força de atrito cinético varia com a velocidade do bloco e é dada em Newtons por f = ( 95 + 4 v 2 ) , onde v é dada em m / s . Calcule o módulo da força F ' e a potência fornecida por ela ao bloco quando a velocidade do bloco for igual a v = 1 m / s sabendo que a aceleração do bloco ao longo do plano no mesmo instante é dada por a = 1 m / s 2 .

Passo 1

a)

Bom, primeiramente, vamos adotar eixos y e x , o primeiro perpendicular à superfície do plano e outro paralelo à superfície do plano.

Fica Assim:

Vamos decompor primeiro a força F → nessas duas direções:

F x → = F c o s θ

F y → = F s e n θ

Qual é a componente que realiza trabalho? A componente F x , já que a outra é perpendicular ao movimento. Como a força é constante, o trabalho será dado por:

W F = F c o s θ . d = F d c o s θ

Aplicando os valores:

W F = 64 J

Quais são as outras forças? A força de atrito e a força peso.

Bom, a força de atrito é sempre tangente à direção do deslocamento. Ela vale:

F a t → = - N → μ

Menos porque é contrário ao movimento. E quanto vale a normal? Vale aquele valor que a gente usa nos planos inclinados:

N → = P → c o s θ

Assim:

F a t → = - μ P → c o s θ

Lembrando que:

P → = m g

Assim, o trabalho da força de atrito vale:

W a t = - μ m g d c o s θ = 0,10 . 3.10 2 0,8 = - 4,8 J

E o trabalho da força peso? Ahh, esse é mais fácil: Lembra que o peso é uma força conservativa e que o trabalho de forças conservativas não dependem da trajetória?

Então, você não precisa decompor o peso naquelas duas direções novas. O trabalho do peso será dado por:

W p = - m g h

E quem vale h ? Basta a analisar a figura abaixo:

h = d . s e n θ

Assim, o trabalho da força peso será:

W p = - m g d s e n θ = - 3.10.2 . 0,6 = - 36 J

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Podemos usar o teorema trabalho energia cinética aqui:

W t o t a l = ∆ K

Então, precisamos calcular o trabalho total sobre o sistema. Esse será a soma de todos os trabalhos calculados antes. Assim:

W t o t a l = W F + W a t + W p

W t o t a l = F d c o s θ - μ m g d c o s θ - m g d s e n θ

W t o t a l = F - μ m g c o s θ - m g s e n θ d

Assim:

∆ K = F - μ m g c o s θ - m g s e n θ d = 64 - 4,8 - 36 = 23,2 J

Observe que o termo entre os parênteses é a resultante das forças na direção x .

Passo 3

c)

Agora a força F ' está na direção x . Assim, o trabalho dela será dado por:

W F = F ' d

E a potência média será:

P F = F ' v

Beleza, mas não sabemos o valor do módulo de F ' . Pra isso, podemos usar a segunda lei de Newton, já que temos o valor da aceleração quando v = 1 m / s :

F R = m a

A força resultante na direção x será dada por:

F R = F ' - f a t - m g s e n θ = m a

Veja que colocamos ali a componente do peso na direção x . Como f a t é uma função da velocidade, podemos calculá-la para v = 1 m / s :

f a t v = 95 + 4 1 2 = 99 N

E a aceleração vale a = 1 m / s 2 . Assim:

F ' - 99 - 3 10 0,6 = 3.1 → F ' = 99 + 18 + 3 = 120 N

Assim, já descobrimos o valor do módulo de F ' :

F ' = 120 N

Show? Agora, pra descobrir a potência, basta a gente usar esse valor na primeira equação eu vimos:

P F = F ' v = 120.1 = 120 W

Resposta

a)

W F = 64 J

W a t = - 4,8 J

W p = - 36 J

b)

∆ K = 23,2 J

c)

F ' = 120 N

P F = 120 W

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