Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

PUCRIO – Física 1 – 2020.1 – P2 – M. Escolha

4 . O sistema de transporte de passageiros sobre trilhos entre a base e o topo de uma montanha, mostrado na figura, é composto de um vagão (massa m v = 500   k g ), uma mola que obedece a lei de Hooke ( k = 20000   N / m ) , polia e cabo ideais, e um contrapeso (massa m c = 800   k g ). O coeficiente de atrito cinético entre o vagão e os trilhos na montanha é μ c = 0,3 . O ângulo entre a montanha e a horizontal é θ = 30 ° . O vagão, travado na base da montanha, recebe passageiros de massa m p a s = 500   k g . Em seguida, a trava é retirada, o vagão sobe a montanha e, ao atingir o topo, comprime a mola até parar. A distância total percorrida desde a retirada da trava até a compressão total da mola é de L = 100   m . Determine qual é a velocidade do vagão após percorrer os primeiros 50   m e a distância x m a x percorrida pelo vagão desde o instante em que toca a mola até parar.

Passo 1

Vem comigo que a gente da um jeito nesse problema!

Temos que achar duas coisas nesse problema. A primeira é a velocidade do vagão nos primeiros 50 m , e a compressão da mola.

Nas duas situações vamos usar a conservação de energia total, lembrando que temos uma força dissipativa, o atrito no casso, assim temos que:

Δ E T = W

Onde W é o trabalho realizado pela força de atrito.

A força de atrito é dada por:

f a = N μ c

Onde N vai ser igual a componente da força peso perpendicular à rampa, assim:

f a = m T g μ c cos ⁡ θ

Como essa força dissipa energia seu trabalho é negativo.

Um detalhe é que como teremos os passageiros no vagão, a massa desse conjunto é m T = m v + m p a s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então primeiro atrás da velocidade que o bloco tem nos primeiros 50   m .

A conservação de energia fica da seguinte forma:

m T v f v 2 2 + m T g h f v + m c v f c 2 2 + m c g h f c - m T v i v 2 2 - m T g h i v - m c v i c 2 2 - m c g h i c =

= - m T g μ c cos ⁡ θ ( D )

Onde D é a distância percorrida pelo bloco.

Pelo fato do vagão e do contra peso estarem ligados por uma corda ideal, que passa por uma polia ideal, temos que:

v f v = v f c = v f

v i v = v i c = 0

E como a distância percorrida pelo vagão é a mesma do contra peso, então:

h f c - h i c = - D

Como o vagão parte do chão, temos que h i v = 0 e a altura final é h f v = D sen ⁡ θ .

Substituindo todas essas informações na equação que temos, ficamos com:

1 2 m T + m c v f 2 + m T g D sen ⁡ θ - m c g D = - m T g μ c cos ⁡ θ ( D )

Passo 3

Agora vamos isolar v f para calcular seu valor, temos:

1 2 m T + m c v f 2 = - m T g μ c cos ⁡ θ D - m T g D sen ⁡ θ + m c g D

⇒ v f 2 = 2 ( m T + m c ) - m T g μ c cos ⁡ θ D - m T g D sen ⁡ θ + m c g D

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

v f 2 = 2 ( 1000 + 800 ) [ - 1000 10 0,3 cos ⁡ 30 ° 50 - 1000 10 50 sen ⁡ 30 ° +

+ ( 800 ) ( 10 ) 50 ]

⇒ v f 2 = 2 1800 - 129903,81 - 250000 + 400000

⇒ v f 2 = 22,32

Com isso temos que:

v f = 4,72   m / s

Essa é a velocidade que vagão tem nos primeiros 50   m .

Passo 4

Agora vamos atrás da compressão da mola. Mais uma vez vamos usar a conservação de energia da mesma forma que fizemos antes, só que agora a distância percorrida pelo vagão é L .

Agora temos a energia potencial elástica envolvida na situação, assim temos que:

m T v f v 2 2 + m T g h f v + m c v f c 2 2 + m c g h f c + k x f 2 2 - m T v i v 2 2 - m T g h i v - m c v i c 2 2 - m c g h i c - k x i 2 2 =

= - m T g μ c cos ⁡ θ ( L )

Mais uma vez pelo fato do vagão e do contra peso estarem ligados por uma corda ideal, que passa por uma polia ideal, temos que:

v f v = v f c = 0

v i v = v i c = 0

E como a distância percorrida pelo vagão é a mesma do contra peso, então:

h f c - h i c = - L

Como o vagão parte do chão, temos que h i v = 0 e a altura final é h f v = L sen ⁡ θ . E como não temos compressão na mola inicialmente, temos que x i = 0 .

Substituindo todas essas informações na equação que temos, ficamos com:

m T g L sen ⁡ θ + k x f 2 2 - m c g L = - m T g μ c cos ⁡ θ ( L )

Passo 5

Agora vamos isolar x f para calcular seu valor, temos:

m T g L sen ⁡ θ + k x f 2 2 - m c g L = - m T g μ c cos ⁡ θ ( L )

⇒ k x f 2 2 = - m T g μ c cos ⁡ θ L - m T g L sen ⁡ θ + m c g L

⇒ x f 2 = 2 k - m T g μ c cos ⁡ θ L - m T g L sen ⁡ θ + m c g L

Substituindo com os valores que temos:

x f 2 = 2 20000 [ - 1000 10 0 , 3 cos ⁡ 30 ° 100 - 1000 10 100 sen ⁡ 30 ° +

+ ( 800 ) ( 10 ) ( 100 ) ]

⇒ x f 2 = 2 20000 - 259807,62 - 500000 + 800000

Com isso temos que:

x f = 2,005   m

Prontinho, completamos esse problema.

Resposta

v f = 4,72   m / s

x f = 2,005   m

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