Considere um plano inclinado que forma um ângulo de θ   =   30 , 0 ° o com a horizontal. Na parte inferior do plano inclinado está uma mola com constante elástica de 4700   N / m fixada num muro. Um bloco de inércia 2,00   k g solto na parte superior do plano inclinado produz uma compressão máxima na mola de 2,50 c m em relação à posição inicial

a) Desprezando todos os atritos calcule a distância que o bloco percorre desde o momento em que é solto até comprimir a mola no seu valor máximo.

b) Agora considere que existe atrito entre a superfície do bloco e o plano inclinado com µ k = 0 ,   100 . Calcule a distância em que o bloco foi solto para comprimir a mola do mesmo valor máximo anterior.

c) Qual a aceleração do bloco ao descer a rampa com atrito?

d) Se você quiser que o bloco desça com velocidade constante a rampa com atrito qual o ângulo θ a rampa dever ter com a horizontal

Passo 1

a) Vamos começar!

Bem! Nesse primeiro item, temos que calcular a distância que o bloco percorre desde o momento em que é solto até comprimir a mola no seu valor máximo.

Essa é de boas! Bastar usar a conservação da energia...

E i n i c i a l = E f i n a l

m g h = 1 2 k x f 2

h = k x f 2 2 m g

h = k x f 2 2 m g

Substituindo os valores numéricos...

h = k x f 2 2 m g

h = 4700 ⋅ 0,025 2 2 ⋅ 2 ⋅ 9,8

h = 0,07493   m = 7,4 93   c m

E a distância percorrida pelo bloco referente a essa altura h é a hipotenusa da rampa, igual à...

x = h sen ⁡ 30 ° = 7,4 93   c m sen ⁡ 30 ° = 14,9 86   c m

Somando com a compressão máxima, podemos obter a distância total...

x t o t a l = 14,9 86   c m + 2,50   c m

x t o t a l = 17,486   c m

Passo 2

b) Agora, vamos ver no caso em que há atrito! Sabemos que o coeficiente de atrito vale

µ k = 0 ,   100

Sendo assim, uma vez que o trabalho de forças não conservativas é igual à variação de energia mecânica, temos que...

W f o r ç a = ∆ E m e c

F a t d = m g d sen ⁡ 30 ° - k x 2 2

Onde d vai ser a distância total percorrida pela bloco...

F a t ⋅ d = m g d sen ⁡ 30 ° - k x 2 2

μ k m g d cos ⁡ 30 ° = m g d sen ⁡ 30 ° - k x 2 2

0,1 ⋅ 2 ⋅ 9,8 d cos ⁡ 30 ° = 2 ⋅ 9,8 d sen ⁡ 30 ° - 4700 ⋅ ( 0,025 ) 2 2

8,1025 d = 1,46875

d = 0,18126   m ≅ 18 , 13   c m

Passo 3

c) Agora, vamos fazer a decomposição de forças na rampa, considerando que há atrito...

Com base nisso, aplicando o somatório das forças podemos descobrir o que pede esse item, que é a aceleração do bloco quando há atrito...

m g sen ⁡ 30 ° - μ m g cos ⁡ 30 ° = m a

a = g sen ⁡ 30 ° - μ g cos ⁡ 30 °

a = g ( sen ⁡ 30 ° - μ cos ⁡ 30 ° )

a = 9,8 ( sen ⁡ 30 ° - 0,1 cos ⁡ 30 ° )

a = 4,05   m / s 2

Passo 4

d) E pra finalizar, falta descobrir o ângulo para o qual o bloco vai descer sem aceleração, com velocidade constante...

Ora bolas! Pois muito bem! Aplicando o somatório das forças na direção x :

m g sen ⁡ θ - μ m g cos ⁡ θ = m a = 0

m g sen ⁡ θ = μ m g cos ⁡ θ

sen ⁡ θ = μ cos ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = μ

tan ⁡ θ = μ

θ = arctan ⁡ μ

θ = arctan ⁡ 0,1

θ = 5,71 °

Resposta

a)

x t o t a l = 17,486   c m

b)

d = 0,18126   m ≅ 18,13   c m

c)

a = 4,05   m / s 2

d)

θ = 5,71 °

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