Um bloco é liberado a partir do repouso conforme a figura abaixo, iniciando seu movimento a partir da extremidade esquerda da figura. Os 3 trechos em rampa não possuem atrito, e os 2 trechos planos possuem atrito, com coeficiente de atrito cinético de 0,35 . O valor de d = 50   c m .

b ) Após atingir essa altura máxima na rampa da direita, o bloco inicia o movimento contrário, se movendo agora da direita para a esquerda. Com que velocidade o bloco atinge o final do primeiro trecho plano (mais baixo)? Com que velocidade o bloco atinge o início do segundo trecho plano (mais alto)? Qual a posição exata em que o bloco para totalmente?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos nesta questão uma rampa formada por diversos trechos de comprimentos e alturas diferentes! Em particular temos três trechos e eles estão distribuídos como na seguinte imagem

note que d = 50   c m   =   0,5   m . Nós agora temos que analisar o caminho contrário ao da alternativa anterior, ou seja, após chegar a uma altura máxima, que encontramos na alternativa anterior como

h m a x = 0,49   m

iremos obter as velocidades no final do trecho plano mais baixo, a velocidade no início do trecho plano mais alto, e verificar onde o bloco irá parar depois do atrito ter consumido toda a energia cinética! Eu vou repetir ao longo dos passos as expressões para as energias cinéticas e para o trabalho da força de atrito, mas vale a pena utilizar os resultados obtidos para os atritos realizados no trecho plano mais baixo

W 2 = - 1 2 μ   m g   d

e, no trecho plano mais alto

W 1 = - μ   m   g   d

Com tudo isso em mãos! Vamos resolver esta questão! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, as duas equações que serão úteis para nós aqui são, a expressão para a energia potencial gravitacional

E p = m   g   h

em que m é a massa do bloco (irrelevante para nós aqui), g = 10   m / s 2 é a aceleração gravitacional e h é a altura em um referencial de nossa escolha! Também iremos precisar da expressão para a energia cinética

E c = 1 2 m   v 2

em que v é o módulo da velocidade que o bloco tem em algum instante específico desejado. Vamos usar também o trabalho realizado pela força de atrito

W = - | f a t → | Δ x = - μ | N → | Δ x

em que | N → | é o módulo da força normal atuando sobre a partícula. Como só temos atrito nas seções planas, temos que a força normal será sempre igual em módulo ao peso do bloco, ou seja

| N → | = m g

e, o trabalho da força de atrito será sempre

W = - μ   m   g   Δ x

em que Δ x é o deslocamento do bloco na região com atrito! Maravilha! Vamos aplicar estas expressões! Saca só!

Passo 3

Inicialmente o corpo está em uma altura máxima que encontramos no fim da alternativa anterior, e portanto, tem a seguinte energia potencial

E p 1 = m g h m a x

como não há atrito nas rampas, temos que esta energia se transforma totalmente em energia cinética, temos que

E c 1 = m g h m a x

Mas, esta é a energia cinética no início do trecho plano mais baixo, queremos no final do trecho plano mais baixo, ou seja, precisamos considerar a influência do atrito para percorrer a distância de d / 2 . Como calculamos na alternativa anterior, temos que este atrito é dado por

W 2 = - 1 2 μ   m g   d

e, portanto, a energia cinética é reduzida nesta quantidade, temos que a energia cinética restante será

E c r = m g h m a x - 1 2 μ m g d = m g ( h m a x - 1 2 μ d )

Podemos calcular a velocidade ao final deste trecho usando a definição da energia cinética e substituindo os valores

E c r = 1 2 m v 1 2 = m g ( h m a x - 1 2 μ d )

ou simplesmente

v 1 = 2 g ( h m a x - 1 2 μ d ) = 2 ( 10 ) ( 0,49 - 1 2 ( 0,35 ) ( 0,5 ) )

que é aproximadamente

v 1 ≈ 2,84   m / s

Agora, vamos ver quanta dessa energia cinética é necessária para subir a segunda rampa! Saca só!

Passo 4

Para subir toda a rampa é necessário que a energia cinética seja maior (ou ao menos igual) a energia potencial necessária para chegar a altura d / 2 , temos que esta energia potencial é tal que

E p 2 = 1 2 m g d

Inicialmente, temos uma energia cinética dada por

E c r = 1 2 m v 1 2

A energia cinética que irá restar no topo desta rampa é

E c r 2 = 1 2 m v 1 2 - 1 2 m g d

Portanto, temos que a velocidade no topo da rampa será

1 2 m   v 2 2 = 1 2 m v 1 2 - 1 2 m g d

Isolando a velocidade, temos que

v 2 = v 1 2 - g d = ( 2,84 ) 2 - ( 10 ) ( 0,5 )

ou, simplesmente

v 2 ≈ 1,75   m / s

Ótimo! A última coisa que eles nos pedem é para analisar onde o bloco irá parar! Eu tenho um instinto que talvez ele pare neste trecho plano, mas claro, precisamos checar isso! Como fazemos isso? Saca só!

Passo 5

Para saber se o bloco irá parar neste trecho plano precisamos ver se a energia cinética relacionada a velocidade v 2 é maior do que o trabalho realizado pelo atrito ao longo de todo o trecho, nós calculamos este trabalho na alternativa anterior como

W 1 = - μ   m   g   d

Vamos dar um valor qualquer para a massa aqui, já que ela é um fator comum no trabalho e na energia cinética, apenas para conseguirmos comparar as duas relações, colocando m = 1 , temos que

W 1 = - ( 0,35 ) ( 1 ) ( 10 ) ( 0,5 ) = - 1,75   J

A energia cinética se temos m = 1 , será

E c r 2 = 1 2 ( 1 ) ( 1,75 ) 2 ≈ 1,53   J

Ou seja, a energia não é o suficiente para chegar ao final do trecho! O bloco irá parar antes de chegarmos à rampa! Vamos ver exatamente onde! Bora lá!

Passo 6

A energia cinética será toda eliminada na forma de trabalho pela força de atrito, ou seja, temos que

W = 1 2 m v 2 2

usando a definição de trabalho para a força de atrito, temos em módulo que

μ   m g   Δ x = 1 2   m v 2 2

Então quanto deslocamento o bloco conseguirá fazer? Isolando Δ x temos que

Δ x = v 2 2 2 μ g = ( 1,75 ) 2 2 ( 0,35 ) ( 10 )

ou, jogando em uma calculadora, temos que

Δ x ≈ 0,43   m

Sendo assim, o bloco irá parar 0,43   m a esquerda do final do trecho plano mais alto! Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v 1 ≈ 2,84   m / s , v 2 ≈ 1,75   m / s e 0,43   m à esquerda do final do trecho plano mais alto!

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