Um bloco é liberado a partir do repouso conforme a figura abaixo, iniciando seu movimento a partir da extremidade esquerda da figura. Os 3 trechos em rampa não possuem atrito, e os 2 trechos planos possuem atrito, com coeficiente de atrito cinético de 0,35 . O valor de d = 50   c m .

a ) Durante seu movimento para a direita, qual a velocidade no final do primeiro trecho plano (mais alto)? Qual a velocidade no final do segundo trecho plano (mais baixo)? Qual a velocidade no final do segundo trecho plano (mais baixo)? Qual a altura máxima (em relação ao trecho plano mais baixo) que o bloco atinge na rampa da direita?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos nesta questão uma rampa formada por diversos trechos de comprimentos e alturas diferentes! Em particular temos três trechos e eles estão distribuídos como na seguinte imagem

note que d = 50   c m   =   0,5   m . Esta alternativa em particular estabelece que nosso bloquinho está se movendo para a direita, e pede algumas informações, essas são: a velocidade no final do trecho plano mais alto, a velocidade no final do trecho plano mais baixo, e por último a altura máxima que ele alcança na rampa da direita! Fazer isso é um processo de análise da energia transferida e o trabalho realizado pela força de atrito. Em geral, vamos analisar cada trecho como se a energia fosse conservada, e então reduzir a influência do atrito nos trechos planos! Belezinha? Bora lá!

Passo 2

Primeiro, as duas equações que serão úteis para nós aqui são, a expressão para a energia potencial gravitacional

E p = m   g   h

em que m é a massa do bloco (irrelevante para nós aqui), g = 10   m / s 2 é a aceleração gravitacional e h é a altura em um referencial de nossa escolha! Também iremos precisar da expressão para a energia cinética

E c = 1 2 m   v 2

em que v é o módulo da velocidade que o bloco tem em algum instante específico desejado. Vamos usar também o trabalho realizado pela força de atrito

W = - | f a t → | Δ x = - μ | N → | Δ x

em que | N → | é o módulo da força normal atuando sobre a partícula. Como só temos atrito nas seções planas, temos que a força normal será sempre igual em módulo ao peso do bloco, ou seja

| N → | = m g

e, o trabalho da força de atrito será sempre

W = - μ   m   g   Δ x

em que Δ x é o deslocamento do bloco na região com atrito! Maravilha! Vamos aplicar estas expressões! Saca só!

Passo 3

Inicialmente o bloco está parado no topo da rampa da esquerda, se escolhermos um referencial que a altura 0 é na altura do trecho plano mais baixo, temos que a altura inicial do bloco é

h =   d + d / 2 = 3 d / 2

Então, a energia inicial é totalmente potencial dada por

E p 1 = m g   h =   3 2   m g   d

Parte dessa energia vai ser transformada em energia cinética ao descer a rampa, por que apenas parte? Pois nós descemos apenas uma altura d , ou seja, ainda resta uma energia potencial

E p 2 = 1 2 m   g   d

ou seja, quando o bloco chegar a base da primeira rampa, a sua energia será tal que

E c 2 + E p 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 m   g   d = 3 2   m g   d  

Resumindo, a energia cinética na base da rampa será

E c 2 = 3 2   m g   d - 1 2   m g d   = m g d

Maravilha! Isso nos dá a velocidade na base da rampa, mas nós queremos a velocidade no final do primeiro trecho plano. Consegue ver o que falta fazer? Saca só!

Passo 4

Precisamos considerar a influência do atrito na energia total do sistema ao chegar no final do primeiro trecho plano, note que este trecho tem um comprimento dado por d = 0,5   m , portanto, o trabalho realizado pelo atrito neste trecho é

W 1 = - μ   m   g   d

este trabalho é igual a quantidade de energia que foi liberada durante o movimento, ou seja, a energia cinética restante ao final do trecho é

E c r 1 = m g d   -   μ   m g d = 1 2 m v 1 2           ( 1 )

Isolando a nossa velocidade, temos que

v 1 = g d   -   μ g d = ( 1 - μ ) g d

ou, substituindo valores, temos que

v 1 = ( 1 - 0,35 ) ( 10 ) ( 0,5 ) ≈ 1,8   m / s

Aí está a primeira velocidade pedida! Vamos calcular a segunda agora!

Passo 5

O bloco agora está no topo da rampa de altura h = d / 2 com energia cinética dada pela equação 1 , portanto, agora temos que a energia total do bloco é

E 2 = 1 2 m g d + ( m g d - μ m g d )

ou, simplesmente, temos que

E 2 = 3 2 m g d   -   μ m g d = m g d ( 3 2 - μ )

Essa energia será transformada totalmente em energia cinética, já que desce a rampa até a altura h = 0 , temos então que na base da segunda rampa, temos uma energia cinética dada por

E c 3 = m g d ( 3 2 - μ )

Queremos a velocidade no final deste segundo trecho plano, que tem comprimento d / 2 , e portanto, o atrito realiza agora um trabalho dado por

W 2 = - 1 2 μ   m g   d

E, a energia cinética restante, será

E c r 2 = m g d ( 3 2 - μ ) - 1 2 μ   m g d = m g d ( 3 2 - μ - 1 2 μ )

De forma que nossa velocidade será simplesmente

1 2 m v 2 2 = m g d ( 3 2 - 3 2 μ ) = 3 2 m g d ( 1 - μ )           ( 2 )

Isolando e substituindo valores, temos que

v 2 = 3 g d ( 1 - μ ) = 3 ( 10 ) ( 0,5 ) ( 1 - 0,35 ) ≈ 3,12   m / s

Uff… Só mais uma coisinha e essa alternativa já era! Vamos calcular a altura máxima que o bloco chega na última rampa!

Passo 6

Temos que o bloco tem uma energia cinética dada pela equação 2 , essa energia vai ser transformar em energia potencial até parar em alguma altura da rampa, ou seja, temos que a altura máxima será dada por

m   g   h m a x = 3 2 m g d   ( 1 - μ )

Isolando a altura máxima, temos que

h m a x = 3 2 d ( 1 - μ ) = 3 2 ( 0,5 ) ( 1 - 0,35 )

ou, simplesmente

h m a x = 0,49   m

Que é levemente menor do que d , e significativamente menor que 3 d / 2 que é a altura inicial! Ou seja, o atrito é bastante relevante para a nossa questão! Essa alternativa já foi! Vamos para a próxima agora! Até daqui a pouco!

Resposta

v 1 ≈ 1,8   m / s , v 2 ≈ 3,12   m / s e h m a x = 0,49   m

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