Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

PUCRIO – Física 1 – 2020.1 – P2 – M. Escolha

3 . Um bloco de massa m = 1   k g é solto do repouso de uma altura h = 1   m (posição A ) na pista ilustrada na figura. A pista é sem atrito, a menos de um trecho B C de comprimento L = 0,75   m e coeficiente de atrito cinético μ = 1 / 3 . O bloco chega à mola de constante elástica k = 6,0   N / c m e a comprime até chegar a um repouso momentâneo. Determine a compressão máxima da mola, a velocidade do bloco em B , quando este passa pelo trajeto B C pela segunda vez, a posição que o bloco para finalmente. Adote g = 10   m / s 2

Passo 1

Vamos juntos que a gente resolve essa questão!

Temos em mãos uma situação que envolve conservação de energia, tirando o tempo que o bloco passar por B C , e também temos dissipação de energia nesse trecho B C .

Para encontrarmos a compressão máxima da mola, vamos usar o fato de que o bloco parte do repouso, então sua energia cinética é zero e quando ele comprime a mola, no final, a sua velocidade é zero, logo sua energia cinética também, então:

Δ E c = 0

Então todo esse percurso temos três forças que realizam trabalho no bloco, a força gravitacional, a de atrito e a elástica. Usando o teorema do trabalho/energia cinética, temos que:

W g + W a t r i t o + W e l á s t i c o = Δ E c

Como a variação da energia cinética é zero, temos:

W g + W a t r i t o + W e l á s t i c o = 0

Vamos então encontrar expressões para esses trabalhos e extrair a compressão máxima da mola.

Depois que o bloco comprime a mola e essa empurra ele de volta, ele adquire uma velocidade, e essa é a velocidade com que ele entra em B C .

Para achar essa velocidade com que ele entra em B C , vamos usar a conservação de energia, onde, incialmente só temos energia potencial elástica da mola e no final a energia cinética, adquirida depois do empurrão da mola, assim:

k Δ x 2 2 = m v 2 2

A velocidade que o enunciado pede é a que ele tem depois que passou por B C , para isso temos que saber a aceleração causada pela força de atrito nessa parte que desacelera o bloco, sabendo essa aceleração, vamos usar a seguinte equação da cinemática para acharmos a velocidade:

v 2 = v 0 2 - 2 a Δ s

Com isso encontramos a velocidade depois que ele passa por B C .

Para achar em que posição o bloco vai parar, temos que nos ligar que o único trajeto em que o bloco perde velocidade é em B C , então temos que aplicar essa equação acima nele até chegarmos ao ponto que ele tem velocidade igual a zero, com isso saberemos onde ele parou.

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Passo 2

Vamos atrás da compressão máxima da mola primeiro, temos:

O trabalho é igual a força vezes a distância que essa força atuou. Começando com a força peso temos que:

W g = m g h

A distância é h , pois a força peso não depende da trajetória.

O trabalho da força de atrito é dado por:

W a t r i t o = - N μ c L

Mas como no trecho B C o bloco está em repouso na vertical temos que N = P = m g , então:

W a t r i t o = - m g μ c L

Agora o trabalho da força elástica é dado por:

W e l á s t i c o = - k Δ x 2 2

Onde Δ x é a compressão da mola.

Passo 3

Juntando tudo o que sabemos, ficamos com:

m g h - m g μ c L - k Δ x 2 2 = 0

Agora vamos isolar Δ x , temos:

k Δ x 2 2 = m g h - m g μ c L

⇒ Δ x = 2 k m g h - m g μ c L

Substituindo os valores que conhecemos, lembrando que k = 6   N / c m = 600   N / m , assim temos:

Δ x = 2 600 1 10 1 - 1 10 1 3 0,75

= 2 600 7,5

Assim temos que:

Δ x = 0,158   m

Passo 4

Vamos agora char a velocidade com que o bloco entra em B C depois que ele é parado pela mola. Usando a conservação de energia temos:

k Δ x 2 2 = m v 2 2

Isolando v , temos:

v 2 = k Δ x 2 m

Substituindo o que sabemos, temos:

v 2 = 600 0,158 2 1

⇒ v 2 = 14,978

Vamos deixar assim, para facilitar nossa vida.

Passo 5

Agora vamos usar a equação da cinemática para achar a velocidade com que o bloco passa por B C , temos:

v B C 2 = v 2 - 2 a Δ s

Essa aceleração podemos encontrar da segunda lei de Newton, no trecho B C , só temos a força de atrito atuando, logo ela é nossa força resultante, assim:

F R = m a = m g μ c

⇒ a = μ c g

Assim a primeira equação fica da seguinte forma:

v B C 2 = v 2 - 2 μ c g Δ s

Como a força de atito só ache nesse trecho, então a aceleração também, assim Δ s = L = 0,75   m , assim temos:

v B C 2 = 14,978 - 2 ( 1 / 3 ) ( 10 ) ( 0,75 )

⇒ v B C = 3,16   m / s

Essa é a velocidade com que ele passa por B C .

Passo 6

Agora temos que achar onde ele para!

Depois que ele passa pelo trecho B C ele sobe a rampa e volta e entra nesse trecho com a mesma velocidade com que saiu já que a energia se conserva no movimento de subir e descer a rampa.

Então vamos usar a equação da cinemática para saber a velocidade com que ele deixa o trecho B C em direção a mola, temos:

v f 2 = v 0 2 - 2 μ c g L

Substituindo o que sabemos, temos:

v f 2 = 9,978 - 2 ( 1 / 3 ) ( 10 ) ( 0,75 )

⇒ v f 2 = 4,978

Assim temos:

v f = 2,23   m / s

Então depois que ele sai do trecho B C ele vai na direção da mola, é parado e depois é mandado de volta com a mesma velocidade, já que temos conservação de energia.

Assim ele entra de novo no trecho B C com a mesma velocidade com que ele tinha quando saiu, vamos aplicar mais uma vez a equação da cinemática e ver com que velocidade ele sai, temos:

v f 2 2 = v 02 2 - 2 μ c g L

⇒ v f 2 2 = 4,978 - 2 ( 1 / 3 ) ( 10 ) ( 0,75 )

Isso nos dá aproximadamente que:

v f 2 = 0

Então ele chega no final do trecho B C com uma velocidade igual a zero indo na direção de B , então esse é o ponto que ele para.

Resposta

Δ x = 0,158   m

v B C = 3,16   m / s

Ponto de parada = B

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