Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Na figura abaixo estão indicadas 3 posições identificadas pelas letras B , C e D . Um Bloco de massa m inicialmente em repouso a uma altura h 1 a partir do solo está em contato com uma mola comprimida. A mola possui constante elástica k .

Após a mola ser solta e o bloco se desprender, o bloco desliza sem atrito passando pelo ponto B que se encontra na mesma altura h 1 . Segue descendo por uma rampa até o ponto C . Neste ponto C o bloco possui velocidade V c . Após passar o ponto C , o bloco volta a subir por uma segunda rampa de altura h 2 até uma plataforma horizontal. Esta plataforma possui atrito e o bloco desliza até parar no ponto D . O coeficiente de atrito cinético na plataforma vale μ .

Use g para a aceleração da gravidade. As variáveis dadas do problema são ( m , h 1 , h 2 , μ , k e V c )

a) Determine a compressão Δ x da mola em termos das variáveis dadas do problema.

b) Determine a velocidade V B do bloco no ponto B em termos das variáveis do problema.

c) Determine a distância d percorrida na plataforma em termos das variáveis dadas.

d) Calcule a menor altura h 2 de modo que acima dela o bloco volta a tocar na mola.

Passo 1

Ao longo desse problema, um ponto é vital de ser analisado.

A Energia Mecânica se conserva ou não?

A resposta é sim, a energia mecânica se conserva.

Isso acontece pois a Força Peso e a Força Elástica atuando sobre o bloco são forças conservativas, ou seja, não retiram energia do sistema. Já a Força Normal não é uma força conservativa, porém, ao longo de todo o trajeto ela atua perpendicularmente ao deslocamento, não realizando trabalho, ou seja, não alterando também a energia do sistema.

Feita essa análise, podemos utilizar a conservação da energia mecânica para resolver cada um dos itens.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), queremos achar a compressão da mola ∆ x .

Para isso, precisamos percorrer o caminho inverso do bloco.

Temos informação sobre a velocidade V C no ponto C e além disso, sabemos a variação de altura entre o instante inicial e o ponto C , então conseguimos comparar as energias cinéticas e potenciais entre esses instantes.

Como a energia mecânica se conserva, podemos dizer que a energia mecânica inicial é igual a no ponto C :

E M 0 = E M C

No instante inicial (mola comprimida), o bloco se encontra em repouso, portanto sua energia cinética é nula.

Porém, ele tem uma energia potencial elástica U e l associada à deformação da mola e uma energia potencial gravitacional U g associada à sua altura a partir do solo.

Então sua energia mecânica será:

E M 0 = U e l + U g

E M 0 = k ∆ x 2 2 + m g h 1

Já no ponto C , não há nenhuma energia potencial elástica nem gravitacional, toda a sua energia mecânica está na forma de cinética:

E M C = K

E M C = m V C 2 2

Passo 3

Utilizando a equação da conservação da energia, temos:

E M 0 = E M C

k ∆ x 2 2 + m g h 1 = m V C 2 2

Queremos a compressão ∆ x da mola, então vamos isolar esse termo:

k ∆ x 2 2 = m V C 2 2 - m g h 1

k ∆ x 2 = m V C 2 - 2 m g h 1

∆ x 2 = m k V C 2 - 2 g h 1

∆ x = m k V C 2 - 2 g h 1

Achamos a compressão da mola no instante inicial.

Passo 4

Na letra (b), queremos a velocidade no ponto B V B .

Ainda partindo da conservação da energia mecânica, podemos novamente comparar as energias do ponto B e do ponto C :

E M B = E M C

Por que estamos utilizando tanto o ponto C ?

Porque sabemos que a energia potencial elástica e gravitacional nesse ponto são nulas e além disso conhecemos a velocidade nesse ponto V C e portanto sua energia cinética, ou seja, temos todas as informações.

Já vimos no Passo 2, que:

E M C = m V C 2 2

Já no ponto B , não há mais energia potencial elástica (não há deformação de nenhuma mola). A energia mecânica nesse ponto está na forma de potencial gravitacional U g associada à altura h 1 e também na forma de energia cinética associada à velocidade V B :

E M B = U g + K B

E M B = m g h 1 + m V B 2 2

Aplicando na conservação da energia, temos:

m g h 1 + m V B 2 2 = m V C 2 2

Vamos isolar V B . Podemos cortar as massas m :

g h 1 + V B 2 2 = V C 2 2

V B 2 2 = V C 2 2 - g h 1

V B 2 = V C 2 - 2 g h 1

V B = V C 2 - 2 g h 1

Achamos a velocidade no ponto B .

Passo 5

Na letra (c), queremos saber a distância d percorrida na região com atrito.

Quando o bloco entrar na região com atrito, essa força vai dissipando a energia cinética do bloco até que ele pare no ponto D .

Então, para achar essa distância d , precisamos primeiro saber qual a energia cinética com que o bloco está chegando na plataforma horizontal para calcular ao longo de qual distância que ela será dissipada.

Para isso, vamos conservar a energia mecânica entre o ponto C e um novo ponto que chamaremos de E (antes do trecho com atrito):

E M C = E M E

No ponto C , já vimos que a energia está apenas na forma de cinética:

E M C = m V C 2 2

Já no ponto E , teremos tanto uma energia cinética, quanto uma energia potencial gravitacional associada à altura h 2 :

E M E = K E + U g

E M E = K E + m g h 2

Aplicando na conservação de energia, temos:

m V C 2 2 = K E + m g h 2

K E = m V C 2 2 - g h 2

Ou seja, agora, sabemos qual a energia cinética com que o bloco está entrando na região com atrito.

Passo 6

Agora, vamos utilizar o Teorema Trabalho-Energia Cinética:

W R = ∆ K

Onde o trabalho resultante é a variação da energia cinética.

Como a força de atrito é a única realizando trabalho nesse trecho, temos:

W F a t = K f - K 0

A energia cinética final será nula, já que o bloco estará parado, enquanto a energia cinética inicial é K E .

W F a t = - K E

Ou seja, a ideia é que quando a força de atrito retirar do bloco a quantidade de energia que ele tem de cinética, ele vai parar.

Passo 7

Vamos calcular o trabalho da força de atrito F a t .

O trabalho será o produto escalar entre o vetor F → a t e o vetor delocamento d → :

W F a t = F → a t ∙ d →

Esse produto escalar pode ser calculado com o produto dos módulos vezes o cosseno do ângulo entre eles:

W F a t = F a t d c o s θ

Como os vetores estão na mesma direção e sentidos opostos, o ângulo entre eles é:

θ = 180 °

Então:

W F a t = F a t d c o s 180 °

W F a t = F a t d - 1

W F a t = - F a t d

Beleza, e quem é essa força de atrito F a t ?

Passo 8

A força de atrito cinético é dada por:

F a t = μ N

Onde μ é o coeficiente de atrito cinético e N a força normal da superfície.

Como o corpo está em equilíbrio na vertical, temos que:

N = P

N = m g

Então, a força de atrito é:

F a t = μ m g

E o trabalho dessa força:

W F a t = - μ m g d

Passo 9

Voltando ao teorema, ficamos com:

W F a t = - K E

- μ m g d = - m V C 2 2 - g h 2

Cortando m e isolando d , ficamos com:

d = 1 μ g V C 2 2 - g h 2

Essa será a distância percorrida no trecho com atrito até o bloco parar.

Passo 10

Na letra (d), queremos a menor altura h 2 para que o bloco volte até a mola.

Como assim para que o bloco volte a tocar a mola?

Dependendo do valor da altura h 2 , o bloco não terá energia suficiente para subir a rampa, ficando parado no final dela (ponto E ):

Então, a ideia é considerar que a energia cinética no ponto E é nula e toda sua energia mecânica está na forma de energia potencial gravitacional:

E M E = U g

E M E = m g h 2

Podemos calcular a conservação a partir do ponto C , pois já sabemos que toda sua energia nesse ponto está na forma de cinética:

E M C = m V C 2 2

Fazendo a conservação, temos:

E M C = E M E

m V C 2 2 = m g h 2

h 2 = V C 2 2 g

Resposta

(a)

∆ x = m k V C 2 - 2 g h 1

(b)

V B = V C 2 - 2 g h 1

(c)

d = 1 μ g V C 2 2 - g h 2

(d)

h 2 = V C 2 2 g

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