Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Um elevador de massa M está em repouso a uma altura de H , medida a partir do fundo do poço, quando o seu cabo rompe. O dispositivo de segurança do elevador é ativado de forma instantânea, mas não funciona corretamente. O elevador então inicia um movimento de descida lenta deslizando sobre trilhos laterais os quais geram uma força de atrito intensa e constante igual a f C . No fundo do poço há uma mola de comprimento igual a l (quando relaxada), que vai auxiliar o trilho a parar o elevador. A constante elástica da mola é desconhecida. Depois da mola ser comprimida de l / 4 o elevador entra em repouso. Utilize g para a aceleração da gravidade. Suponha a origem do potencial como sendo o fundo do poço.

a) Determine a energia cinética do elevador na iminência de encostar na mola, em função dos dados do problema.

b) Assumindo que a energia cinética do elevador na iminência de encostar na mola é K 0 , determine a energia máxima armazenada na mola, em função dos dados do problema.

c) Utilize somente para este item os seguintes dados numéricos: M = 0,50   t o n , l = 50   c m , H = 5,0   m , μ C = 0,60 , μ E = 0,90 𝑒 g = 10   m / s 2 . Calcule a energia potencial gravitacional do elevador quando ele estiver em repouso na posição do item b).

Passo 1

Na letra (a), queremos a energia cinética do elevador quando ele encosta na mola.

A energia nesse sistema se conserva?

De cara já podemos dizer que não, pois tem aquela força de atrito dissipando energia.

Porém, ela é a única força dissipativa nesse sistema, já que a força peso é conservativa.

Então, o trabalho da força de atrito W F C será a quantidade de energia que essa força retirou do sistema, logo a variação de energia mecânica:

W f C = ∆ E M

W f C = E M - E M 0

E M 0 + W f C = E M

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Passo 2

Vamos estabelecer cada um desses caras.

No início, o elevador está em repouso, então temos apenas energia potencial gravitacional U g 0 :

E M 0 = U g 0

E M 0 = M g H

Quando o elevador encosta na mola, ele tem uma energia cinética K associada a sua velocidade e uma energia potencial gravitacional U g , relacionada a sua altura:

E M = K + U g

Como a altura que o elevador se encotra será a altura da mola relaxada, temos:

E M = K + M g l

Por último, temos W F C .

Como a força de atrito age contra o deslocamento, seu trabalho será negativo:

W f C = - f C . d

O deslocamento é a diferença da altura inicial H para a altura da mola l :

W f C = - f C H - l

Passo 3

Voltando à equação de energia:

E M 0 + W f C = E M

M g H - f C H - l = K + M g l

Isolando K , temos:

K = M g H - M g l - f C H - l

K = M g H - l - f C H - l

Passo 4

Na letra (b), queremos a energia máxima armazenada na mola.

A energia armazenada em uma mola é dada por:

U e l = k x 2 2

Então, a energia é máxima quando a deformação x for máxima.

A compressão máxima ocorre no momento em que o elevador para.

O enunciado já deu a deformação máxima da mola l / 4 , porém, não temos a constante da mola k como dado, então vamos recorrer novamente à equação de energia.

Como a questão forneceu como dado a energia cinética K 0 no ponto em que o elevador toca a mola, vamos escrever a equação de energia entre esse ponto e o ponto em que o elevador para.

E M 0 + W f C = E M

Passo 5

Já calculamos, no item (a), a energia no ponto em que o elevador toca a mola. Então a energia E M 0 será:

E M 0 = K + M g l

Mas, agora, a energia cinética é um valor conhecido K 0 , dado no item (b):

E M 0 = K 0 + M g l

Vamos à energia final E M ...

A energia final será apenas as energias potenciais gravitacional e elástica:

E M = U g + U e l

Como a mola deforma l / 4 , a altura final do elevador será:

h = l - l 4

h = 3 l 4

Então temos:

E M = M g h + U e l

E M = M g 3 l 4 + U e l

E M = 3 4 M g l + U e l

Já o trabalho da força de atrito será a partir do deslocamento (o quanto a mola deformou):

W f C = - f C l 4

Passo 6

Juntando tudo isso, temos:

E M 0 + W f C = E M

K 0 + M g l - f C l 4 = 3 4 M g l + U e l

Isolando U e l :

U e l = K 0 + M g l - 3 4 M g l - f C l 4

U e l = K 0 + M g l 4 - f C l 4

Podemos colocar em evidência o l / 4 , mas só para ficar mais bonitinho mesmo:

U e l = K 0 + M g - f C l 4

Passo 7

Na letra (c), queremos o valor numérico da energia potencial gravitacional U g do elevador quando ele estiver parado.

Já vimos na letra (b) que a energia potencial gravitacional nessa posição é:

U g = M g 3 l 4

Tá vendo esse monte de dado numérico fornecido pela questão?

É, só vamos precisar de M , g e l mesmo. O resto é para confundir a gente.

Passo 8

Os valores numéricos estão em unidades bem diferentes, para padronizá-los, vamos jogar no SI:

A massa está em toneladas:

1   t o n = 1000   k g

M = 500   k g

O comprimento da mola está em centímetros:

1   c m = 0,01   m

l = 0,5   m

Substituindo os valores numéricos, temos:

U g = 500 10 3 0,5 4

U g = 5000 1 2 3 4

U g = 2500 3 4

U g = 1875   J

Resposta

(a)

K = M g H - l - f C H - l

(b)

U e l = K 0 + M g - f C l 4

(c)

U g = 1875   J

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