Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Um bloco de massa m = 2 , 0   k g , sobre um plano inclinado de ângulo θ = 37 ° está preso por uma corda que passa por uma polia e se conecta a uma mola de constante elástica k = 40   N / m , como mostra a figura abaixo.

O bloco é liberado a partir do repouso quando a mola encontra-se relaxada em seu comprimento natural. Considere que as massas da corda e da polia, e o atrito no plano e na polia são desprezíveis. Dados:

s e n 37 ° ≈ 0,6 ; c o s 37 ° ≈ 0,8 ; g = 10   m / s 2 .

(a) Obtenha a velocidade do bloco após percorrer a distância l = 50   c m .

(b) Calcule a maior distância que o bloco percorre sobre o plano antes de parar momentaneamente.

Considere agora que existe atrito entre o bloco e o plano com coeficiente de atrito cinético μ c = 0,25 .

(c) Calcule qual será a nova distância que o bloco percorre sobre o plano antes de parar momentaneamente, neste caso.

Passo 1

Temos um bloco descendo um plano inclinado.

Até aí, bem comum né?

Mas agora, esse bloco está conectado à uma mola que age contra seu movimento de descida. Ou seja, conforme o bloco vai descendo, a mola vai deformando e exercendo uma força cada vez maior no bloco no sentido para cima da rampa, seguindo a expressão:

F e l = k x

Complicou só um pouquinho, mas fica tranquilo que não é nada muito cabuloso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), queremos a velocidade do bloco após percorrer uma distância de 50   c m na rampa.

Podemos pensar em resolver isso calculando a força resultante no bloquinho e vendo sua aceleração, etc...

Entretanto, a força da mola varia a cada instante com uma nova deformação, o que torna as contas um pouco mais complicadas.

Uma boa alternativa é pensar na energia do bloquinho, se a energia se conservar nesse sistema, conseguimos encontrar a energia cinética do bloco e, assim, achar sua velocidade.

Mas será que a energia mecânica se conserva?

Passo 3

Temos três forças atuando no bloquinho, a força peso, normal e de tração:

Mas repara que a força de tração, enquanto a corda estiver tensionada, atuará no bloquinho exatamente da mesma maneira que a mola atuaria se estivesse diretamente conectada a ele. Então, vamos considerar que:

T → = F → e l

E a força normal?

Repara que o movimento do bloquinho é sempre na direção paralela à rampa enquanto a força normal N → está sempre perpendicular a ela.

Então, o trabalho da força normal será sempre nulo nesse movimento, assim, essa força não retira nenhuma energia do sistema.

Depois dessa análise, vemos que tanto a força peso P → quanto a força de tração que age como elástica F → e l são forças conservativas, ou seja, elas não retiram energia do sistema.

Portanto, a energia mecânica do sistema se conserva sim.

Passo 4

Vamos utilizar a conservação da energia entre o instante inical e o instante onde o bloco andou 50   c m .

E M 0 = E M

No instante inicial, o bloco está em repouso e a mola relaxada. Logo, temos apenas uma energia potencial gravitacional:

E M 0 = U g 0

Enquanto no instante final, a mola estará esticada e o bloco apresenta uma certa velocidade. Portanto, se considerarmos o nosso referencial de altura nessa posição, ele terá apenas energia potencial elástica U e l e energia cinética K :

E M = K + U e l

Logo, temos:

E M 0 = E M

U g 0 = K + U e l

m g h = m v 2 2 + k x 2 2

2 m g h = m v 2 + k x 2

m v 2 = 2 m g h - k x 2

v 2 = 2 g h - k x 2 m

Okay, já temos todos esses valores, menos a altura h do bloco no instante inicial com relação ao instante final.

Passo 5

Para achar a altura, dá uma olhada nesse triângulo aqui:

Podemos relacionar a altura que o bloco desceu h com a distância que ele percorreu l por meio da inclinação da rampa:

h = l s e n θ

Passo 6

Voltando à conservação de energia, temos:

v 2 = 2 g h - k x 2 m

v 2 = 2 g l s e n θ - k x 2 m

Além disso, a deformação da mola será igual ao deslocamento do bloco x = l :

v 2 = 2 g l s e n θ - k l 2 m

v 2 = 2 10 0,5 0,6 - 40 0,5 2 2

v 2 = 6 - 20 0,25

v 2 = 6 - 5

v 2 = 1

v = 1   m / s

Achamos a resposta da letra (a).

Passo 7

Na letra (b), queremos saber o quanto o bloco percorreu antes de parar.

Quando o bloco vai descendo a rampa, a mola vai esticando e aumentando sua força, até que em um dado momento, esse bloco vai parar momentaneamente e começar a subir pela ação da mola.

Para descobrirmos o deslocamento máximo do bloco podemos usar a mesma ideia que no item anterior, pois já sabemos que energia no sistema se conserva...

Passo 8

Então vamos usar a conservação de energia entre o instante inicial e final.

No instante inicial, o bloco está em repouso e a mola relaxada, portanto o bloco tem apenas uma energia potencial gravitacional U g 0 .

Já no instante final, o bloco estará novamente em repouso, porém a mola estarrá esticada, então o bloco terá apenas uma energia potencial elástica U e l .

Assim, temos:

E M 0 = E M

U g 0 = U e l

m g h = k x 2 2

Vamos chamar o deslocamento do bloco novamente de l .

Vimos, que a altura com relação ao deslocamento é h = l s e n θ , enquanto a deformação da mola é o próprio l :

m g l s e n θ = k l 2 2

Podemos cortar l dos dois lados:

m g s e n θ = k l 2

l = 2 m g s e n θ k

Substituindo os valores, temos:

l = 2 2 10 0,6 40

l = 0,6   m

Achamos que o bloco percorre 0,6   m antes de parar momentaneamente.

Passo 9

Na letra (c), queremos a nova distância que o bloco percorre quando considerarmos um atrito entre as superfícies, sendo o coeficiente de atrito cinético μ c = 0,25 .

Agora, a situação mudou um pouco. Como temos essa força de atrito dissipando energia, a energia mecânica do sistema não se conserva mais.

Lembra que o trabalho nada mais é do que a transferência de energia?

Então, o trabalho da força de atrito W F a t vai ser exatamente essa energia que sumiu do sistema, ou seja, a diferença entre a energia final E M e a inical E M 0 :

E M - E M 0 = W F a t

Passo 10

Então, bem parecido com o item anterior, temos energia potencial gravitacional U g 0 no início e energia potencial elástica no final:

U e l - U g 0 = W F a t

k x 2 2 - m g h = W F a t

Relacionando h e x com o deslocamento l , temos:

k l 2 2 - m g l s e n θ = W F a t

Quem vai ser o trabalho da força de atrito W F a t ?

Passo 11

Como a força de atrito está agindo contra o movimento, temos que seu trabalho é negativo:

W F a t = - F a t . d

Chamamos o deslocamento de l :

W F a t = - F a t . d

Já a força de atrito cinético é dada por:

F a t = - μ c N

Então:

W F a t = - μ c N l

Precisamos encontrar a força normal N .

Passo 12

Dá uma olhada nas forças no bloco:

Podemos decompor a força peso em suas componentes paralela e normal à rampa:

Como o bloco está em equilíbrio na direção perpendicular à rampa, temos:

N = P c o s θ

N = m g c o s θ

Passo 13

Voltando à equação de energia, temos:

k l 2 2 - m g l s e n θ = W F a t

k l 2 2 - m g l s e n θ = - μ c N l

k l 2 2 - m g l s e n θ = - μ c m g c o s θ l

k l 2 2 = l m g s e n θ - μ c m g c o s θ

Cortando l dos dois lados:

k l = 2 m g s e n θ - μ c m g c o s θ

l = 2 m g s e n θ - μ c c o s θ k

Substituindo os valores:

l = 2 2 10 0,6 - 0,25 0,8 40

l = 40 0,6 - 0,25 0,8 40

l = 0,6 - 0,8 0,25

l = 0,6 - 0,8 1 4

l = 0,6 - 0,2

l = 0 , 4   m

Resposta

(a)

v = 1   m / s

(b)

l = 0,6   m

(c)

l = 0,4   m

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