Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Um bloco de massa m inicialmente em repouso desliza para baixo em um plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal. Depois de ter deslizado uma distância d , o bloco colide com uma mola de constante elástica desconhecida. A mola reduz a velocidade do bloco até fazê-lo parar momentaneamente. Neste instante a mola está comprimida de uma distância x . Não existe atrito entre o plano e o bloco até o contato com a mola (deslocamento d ). Mas existe atrito entre plano e o bloco na região da mola (deslocamento x ) com coeficiente de atrito cinético μ . Use g para a aceleração da gravidade. Responda em função dos dados fornecidos utilizando a Lei de Conservação de Energia.

(c) Após ter sido toda comprimida, a mola empurra o bloco de volta plano acima e o bloco para momentaneamente a uma distância d ' da mola quando ela está relaxada novamente. Determine a distância d ' , em função das variáveis dadas.

Passo 1

Conservação da energia mecânica?

A letra ( c ) não pode ser resolvida por conservação da energia mecânica. Ué, mas porque? Pra entender, dá uma olhada na rampa do exemplo. Ela não tem duas cores a toa! A cor mais escura indica uma região com atrito e é exatamente nessa região que o bloquinho vai andar na letra c . Vamos ter que partir então da seguinte fórmula:

2 W F N C = ∆ K +   ∆ U g +   ∆ U e l

Onde “ W F N C ” é o trabalho das forças não conservativas e é dobrado porque o bloco vai passar duas vezes pela região de atrito.

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Passo 2

Cortar a(s) parcela(s) que não temos

Bem, nem todas as parcelas vão estar presentes! Então fique atento! Se formos considerar o bloco no repouso antes de descer a rampa e no repouso em sua altura máxima após a ação da mola, vemos ver que a velocidade do bloco não muda e é exatamente 0. A parcela de variação da energia cinética a gente vai cortar, beleza? Vamos cortar também a energia potencial elástica porque nesses dois pontos que escolhemos não tem mola atuando.

2 W F N C = ∆ K +   ∆ U g +   ∆ U e l

W F N C =   ∆ U g 2

Passo 3

Calcular a energia potencial gravitacional

Já que não cortamos a parcela da energia potencial gravitacional, temos que dar nosso jeito para encontrar uma expressão com informações que conhecemos. Então, tá valendo a seguinte fórmula:

∆ U g = m g ∆ h

Opa, mas quem é esse ∆ h que surgiu do nada? Conhecemos a massa e a aceleração da gravidade mas o ∆ h por enquanto é desconhecido. Ta na hora de conhecer então! Dá uma olhada nesse esquema:

Agora, por trigonometria, a gente consegue descobrir o quanto o bloco caiu não é? Vamos ter então:

∆ h = d ' - d . s e n   θ

É importante lembrar que “ ” é sempre uma variação entre final e inicial. Agora, tudo que falta substituir na fórmula e chegamos a simpática expressão:

∆ U g = m g d ' - d . s e n   θ

Passo 4

Calcular o trabalho das forças não conservativas

Antes de mais nada, é importante identificar quais são as forças não conservativas atuando. Então, vamos ter:

W F N C = f a t → ∙ d → = f a t . d . cos ⁡ 180 º =   - f a t . d

Como a força de atrito atua no sentido contrário do deslocamento, o trabalho da força de atrito vai ser então negativo, beleza? Mas e o módulo de f a t → ? Como descrever ele? Dá uma olhada nessa expressão:

f a t → =   μ N

Onde “ N ” é a força normal sobre o bloco, perpendicular à rampa. Como o nosso bloco não saiu magicamente da rampa, podemos igualar a normal à uma componente do vetor peso.

O diagrama do corpo livre do bloco não nos deixa dúvida de qual componente igualar:

Pelo diagrama, a gente vê que:

N → = P y →

N = m g cos ⁡ θ

Agora que sabemos tudo, basta substituir! Vamos lá:

W F N C =   - f a t . d

W F N C =   - μ N x

W F N C =   - μ x m g cos ⁡ θ

Passo 5

Unir os resultados anteriores

Antes, tínhamos somente essa fórmula:

W F N C =   ∆ U g 2

E não sabíamos nada sobre ela. Mas agora, podemos expressar a energia potencial elástica em termos de números conhecidos! Pra isso, só substituir:

- μ x m g cos ⁡ θ =   m g d ' - d . s e n   θ 2

- μ x cos ⁡ θ =   d ' - d . s e n   θ 2

- μ x tg ⁡ θ =   d ' - d 2

  d ' - d =   - 2 μ x tg ⁡ θ

d ' = d   - 2 μ x tg ⁡ θ

Resposta

c) d ' = d   - 2 μ x tg ⁡ θ  

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