Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Um bloco de massa m está parado sobre uma superfície, preso a uma mola presa a uma parede, como mostrado na figura abaixo; A mola tem massa desprezível, constante de mola k e comprimento d quando não está comprimida. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o chão é μ s . Espresse suas respostas em termos de m , k , d , e constantes fundamentais.

(c) O bloco é colocado na posição 3 d e solto, permanecendo em repouso. Quando o bloco é deslocado um pouco para a direita desta posição, o bloco começa a se mover sobre a superfície com um coeficiente de atrito cinético μ k .

I. Em termos das variáveis dadas, qual o valor de μ s ?

II. Quanta energia potencial está armazenada no sistema mola-massa logo antes do sistema começar a se mover?

III. O bloco desliza uma distância d antes de parar novamente. Determine o coeficiente de atrito cinético μ k .

IV. Em qual posição o bloco tem a velocidade máxima durante o período em que ele se move? DICA: Qual deve ser a aceleração do bloco neste ponto?

V. Qual a velocidade máxima do bloco durante este movimento?

Passo 1

Vamos item por item...

I. Em termos das variáveis dadas, qual o valor de μ s ?

Quando o bloco é solto na posição 3 d (deformação 2 d da mola), ele se encontra em repouso. Assim, temos que a força da mola é igual à força de atrito estático:

F a t = F e l

F a t = k x

F a t = k 2 d

Porém, ele diz que se o bloco for levemente deslocado para a direita, ele entra em movimento.

Isso significa que ele estava sujeito à força de atrito estático máxima, ou seja, quando a força elástica aumenta só um pouquinho, esse atrito estático não é suficiente para manter o bloco em repouso e ele começa a se mover.

O que tiramos disso?

Se a força de atrito é máxima nesse ponto, podemos igualar à seguinte expressão:

F a t = μ s N

Então:

k 2 d = μ s N

μ s = k 2 d N

Como o bloco está em equilíbrio na vertical, a força normal N é igual à força peso P :

μ s = k 2 d m g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

II. Quanta energia potencial está armazenada no sistema mola-massa logo antes do sistema começar a se mover?

Se o bloco está em repouso, não há energia cinética K .

Portanto, a energia mecânica do sistema mola massa nesse instante é dada apenas pela energia potencial elástica armazenada na mola:

E M = U e l

E M = k x 2 2

Como a deformação da mola nesse ponto é de 2 d , temos:

E M = k 2 d 2 2

E M = k 4 d 2 2

E M = 2 k d 2

Passo 3

III. O bloco desliza uma distância d antes de parar novamente. Determine o coeficiente de atrito cinético μ k .

Aqui podemos utilizar energia também...

Olha só, a energia mecânica não se conserva nesse caso, pois há uma força de atrito (força dissipativa) retirando energia do sistema.

Entretanto, sabemos a energia mecânica do sistema antes do movimento e podemos descobrir a energia que restou após o movimento. Assim, conseguimos a variação de energia mecânica no sistema.

Como a única força retirando energia do sistema é a força de atrito, temos que:

W F a t = ∆ E M

W F a t = E M - E M 0

Passo 4

Como a força de atrito age contra o movimento, seu trabalho é negativo:

W F a t = - F a t d

W F a t = - μ k N d

W F a t = - μ k m g d

Passo 5

Sobre as energias mecânicas, já sabemos a energia mecânica inicial E M 0 , calculada no item II:

E M 0 = 2 k d 2

Enquanto isso, a energia após o bloco parar novamente E M será apenas a energia potencial elástica armazenada na mola com uma deformação de d :

E M = U e l

E M = k x 2 2

E M = k d 2 2

Substituindo tudo isso, temos:

W F a t = E M - E M 0

- μ k m g d = k d 2 2 - 2 k d 2

Cortando d :

- μ k m g = k d 2 - 4 k d 2

- μ k m g = - 3 k d 2

μ k = 3 k d 2 m g

Passo 6

IV. Em qual posição o bloco tem a velocidade máxima durante o período em que ele se move? DICA: Qual deve ser a aceleração do bloco neste ponto?

Pensa nas forças ao longo do trajeto.

Inicialmente, a força elástica é maior que a força de atrito cinético:

F e l > F a t

O bloco tem uma aceleração no sentido do movimento e vai ganhando velocidade.

Porém, a força elástica vai diminuindo a medida que a deformação da mola vai diminuindo.

Isso acontece até que a força elástica passa a ser menor que a força de atrito cinético:

F e l < F a t

Quando isso acontecer, o bloco terá uma aceleração contrária ao movimento e começa a diminuir sua velocidade até parar.

Beleza, mas quando ele terá velocidade máxima?

Sua velocidade será máxima quando a aceleração passa de positiva (no sentido do movimento) para negativa (contra o movimento).

Esse ponto de transição é quando as forças elástica e de atrito se igualam.

F e l = F a t

Então, temos:

k x = μ k N

k x = μ k m g

Substituindo o valor encontrado de μ k :

k x = 3 k d 2 m g m g

x = 3 d 2

Encontramos a deformação da mola. Como a mola relaxada está em d , a posição do bloco nesse instante com relação à origem será:

x b l o c o = d + x

x b l o c o = d + 3 d 2

x b l o c o = 5 d 2

Passo 7

V. Qual a velocidade máxima do bloco durante este movimento?

Novamente vamos utilizar a energia.

Já sabemos em qual posição a velocidade máxima acontece:

x b l o c o = 5 d 2

Então, podemos escrever a equação da energia para o ponto inicial (antes do movimento) e para o ponto de velocidade máxima:

W F a t = ∆ E M

Isso é equivalente a escrever as energias mecânicas antes e depois, lembrando da parcela de energia dissipada pelo atrito:

E M 0 + W F a t = E M

Inicialmente só temos a energia potencial da mola U e l 0 . Enquanto no final, temos tanto uma energia potencial elástica U e l quanto uma energia cinética K :

U e l 0 + W F a t = U e l + K

Passo 8

A energia U e l 0 , já calculamos no item II:

U e l 0 = 2 k d 2

O trabalho da força de atrito será:

W F a t = - μ k m g ∆ x

W F a t = - 3 k d 2 m g m g ∆ x

W F a t = - 3 k d 2 ∆ x

Mas quem é o delocamento ∆ x ?

É a deformação inicial da mola menos a deformação final dela:

∆ x = 2 d - 3 d 2

∆ x = d 2

Então:

W F a t = - 3 k d 2 d 2

W F a t = - 3 k d 2 4

Já a energia potencial elástica final será:

U e l = k x 2 2

U e l = k 3 d 2 2 2

U e l = 9 k d 2 8

Passo 9

Substituindo tudo, temos:

U e l 0 + W F a t = U e l + K

2 k d 2 + - 3 k d 2 4 = 9 k d 2 8 + m v 2 2

Queremos v ... mãos à obra!

m v 2 2 = 2 k d 2 - 3 k d 2 4 - 9 k d 2 8

m v 2 2 = k d 2 2 - 3 4 - 9 8

m v 2 2 = k d 2 16 - 6 - 9 8

m v 2 2 = k d 2 1 8

Calmaaa, ta quase acabando.

v 2 = k d 2 4 m

v = k d 2 4 m

v = d 2 k m

Ufaa, acabamos a questão...

Resposta

(c)

I. μ s = k 2 d m g

II.

E M = 2 k d 2

III.

μ k = 3 k d 2 m g

IV.

x b l o c o = 5 d 2

V.

v = d 2 k m

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