Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

USP – Física 1 – 2020 – P-SUB – Discursiva

Q 7 - Uma mola, de constante elástica k = 90 × 10 3   N / m , é usada, em um parque de diversões, para lançar pessoas em um escorregador de altura H = 5,5   m , como mostra a figura abaixo. A pista do escorregador não tem atrito desde o início (ponto de lançamento das

pessoas) até o ponto B (começo da subida da rampa), onde o coeficiente de atrito passa a ser μ c = 0,5 . A inclinação θ da rampa é tal que sin ⁡ θ = 0,6 e cos ⁡ θ = 0,8 . Se uma pessoa de massa m = 60   k g for lançada quando a mola está comprimida 30   c m em relação ao seu comprimento natural, a distância D que ela percorrerá na rampa antes de parar, em metros, é:

• Considere a pessoa como uma partícula de massa m .

Passo 1

Vamos juntos que a gente dá conta dessa questão!

Para encontrarmos D podemos usar conservação de energia mecânica, mas o diferente é que temos o trabalho da força de atrito que atua na rampa (é uma força não conservativa), assim a conservação fica da seguinte forma:

Δ K + Δ U = W a

No momento inicial como a pessoa parte do repouso, temos que a energia cinética inicial é zero, então só temos energia potencial gravitacional e elástica inicialmente.

Agora, no final quando a pessoa atinge a distância máxima na rampa ( D ) a velocidade também é zero, logo só temos energia potencial gravitacional, com isso a conservação da energia mecânica fica assim:

Δ U = W a

Podemos desconsiderar a parte reta entre o escorrego e a rampa já que a energia cinética na base do escorrego é igual a energia na base da rampa, já que a velocidade não mudou, logo a variação é zero.

Vamos então atrás das energias potenciais inicial e final.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a inicial, temos:

U i = U g + U e

A energia potencial é dada por:

U g = m g H

A elástica é dada por:

k Δ x 2 2

Com isso temos que:

U i = m g H + k Δ x 2 2

Passo 3

Agora vamos ver a energia potencial final, temos que:

U f = U g

A energia potencial na rampa é dada por:

U g = m g h

Onde h = D sin ⁡ θ , logo:

U g = m g D s e n ⁡ θ

Passo 4

Por último temos que saber o trabalho da força de atrito na rampa, a força de atrito cinético é dada por:

f a = N μ c

Onde N = P y = m g cos ⁡ θ por conta da inclinação da rampa.

Então o trabalho dessa força em uma distância D é dado por:

W a = - μ c m g cos ⁡ θ D

O trabalho é negativo já que a força de atrito é uma força dissipativa.

Passo 5

Juntando tudo o que temos, ficamos com:

Δ U = W a

⇒ m g D s e n ⁡ θ - m g H - k Δ x 2 2 = - μ c m g cos ⁡ θ D

Agora temos que isolar D , já que queremos saber o valor desse cara.

m g D s e n ⁡ θ + μ c m g cos ⁡ θ D = m g H + k Δ x 2 2

⇒ D m g sen ⁡ θ + μ c cos ⁡ θ = 2 m g H + k Δ x 2 2

⇒ D = 2 m g H + k Δ x 2 2 m g sen ⁡ θ + μ c cos ⁡ θ

Substituindo os valores que temos.

D = 2 ( 60 ) ( 10 ) ( 5,5 ) + ( 90 × 10 3 ) 0,3 2 2 ( 60 ) ( 10 ) 0,6 + ( 0,5 ) 0,8

= 6600 + 8100 1200

Com isso temos que:

D = 12,25   m

Essa é a distância que a pessoa chega na rampa!

Resposta

D = 12,25   m

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