Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

UFRJ, Física 1, Prova 1, 2016.1

Um bloco de massa m desce acelerado ao longo de uma rampa inclinada de um angulo θ em relação à horizontal, como indicado na figura. Um dispositivo exerce sobre o bloco uma força F → constante horizontal, como indicado na figura. O coeficiente de atrito cinético entre a superfície do plano inclinado e o bloco vale µ. Ao atingir a base do plano inclinado, o bloco tem uma velocidade v 0 e o dispositivo que exerce a força é desligado. O bloco percorrerá uma distância d sobre uma superfície horizontal, com o mesmo coeficiente de atrito µ até encontrar a extremidade de uma mola de constante elástica k, fixa na outra extremidade. Considere desprezível o atrito na região A-B. (Todas as respostas devem ser dadas em termos de m, θ , F, µ, g, k, v0 e d)

  1. represente e identifique todas as forças que agem sobre o bloco enquanto ele esta sobre o plano inclinado;
  2. determine o modulo da aceleração com que o bloco desce o plano;
  3. calcule a compressao máxima da mola.

Passo 1

Primeiramente, vamos entender as forças que agem sobre o bloco quando ele está no plano inclinado.

F a t → é a força de atrito

N → é a normal

F → é a força constante horizontal

P → é a força peso

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para acharmos o módulo da aceleração que o bloco desce, vamos aplicar a segunda lei de newton:

F → r = m . a →

No caso do problema:

F a t → + N → + F → + P → = m a →

Para achar a decomposição das forças, vamos colocar os eixos na direção de queda do bloco e na direção ortogonal à rampa, na seguinte forma:

A partir disso, podemos montar a equação:

m a   î = - F cos ⁡ θ   î + s e n   θ   j + m g s e n θ   î - c o s θ   j - F a t   î + N   j

Lembrando que î é o vetor unitário na direção do eixo x e j é o vetor unitário na direção do eixo y. Podemos reparar, também, que só há aceleração na direção î.

Passo 3

A partir da equação montada acima, podemos separar em eixo x e eixo y.

Dessa forma montamos:

Eixo x: m a =   - F c o s θ + m g s e n θ - F a t

Eixo y: N = m g c o s θ + F s e n θ

Show! E agora?

Precisamos lembrar da relação entre normal e força de atrito cinético: f a t = μ N .

Aplicando na equação do eixo y do problema, chegamos a:

f a t = μ ( m g c o s θ + F s e n θ )

Após isso, podemos substituir na equação do eixo x:

m a =   - F c o s θ + m g s e n θ - μ ( m g c o s θ + F s e n θ )

Pronto!

Precisamos só ajeitar isso aí!

m a = m g - F μ s e n θ - F + μ m g c o s θ

a = g - F μ m s e n θ - F m + μ g c o s θ

Passo 4

Como temos a presença de uma força não conservativa de atrito f a t ,   vamos usar o teorema trabalho-energia cinética.

W r = Δ E c = m 2 v f 2 - v 0 2

Repare que depois que o bloco desce do plano inclinado, a única força que realiza trabalho é a F a t , o dissipando. Logo, usaremos o sinal negativo. Como sabemos a distância percorrida, podemos tirar o valor do trabalho realizado pelo atrito.

W r = - f a t d

Aplicando isso para a situação do problema, teremos:

1 2 m v f 2 - 1 2 m v 0 2 = - f a t d

Mas, precisamos manipular isso ainda.

Lembra que aplicamos na letra b que f a t = μ N ?

Depois que o bloco desce do plano inclinado e faz seu trajeto em linha reta, a normal vale m g .

Assim,

f a t = μ m g

Substituindo isso na equação do Teorema trabalho- energia cinética, chegamos a:

1 2 m v f 2 - 1 2 m v 0 2 = - μ m g d

Manipulando, chegamos ao valor de v f .

v f = v o 2 - 2 μ g d

Passo 5

Bom, já sabemos qual é a velocidade que o bloco chega depois de percorrer a distância d. Mas o problema pede a compressão da mola.

Como vamos relacionar isso?

A sacada aqui está em reparar que ao longo da região AB não existem forças que realizam trabalho e que não há mudança de altura, ou seja, não há energia potencial gravitacional.

Podemos aplicar a conservação de energia mecânica, já que no momento de compressão máxima da mola toda energia cinética do bloco que encontra a mola se transforma em energia potencial elástica.

E i = E f

1 2 m v f 2 = 1 2 k x 2

x = m k v f

Substituindo pelo v f que achamos no Passo 4:

x = m k v 0 2 - 2 μ g d

- '' - '' - '' - ''

Resposta

a)

b) a = g - F μ m s e n θ - F m + μ g c o s θ

c) x = m k v 0 2 - 2 μ g d

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