Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Trabalho e Energia Cinética, Força de Atrito

Um grande bloco de massa 500   k g deve ser transportado horizontalmente através de uma distância total de 100   m sobre um piso com atrito. Um trator empurra o bloco durante os primeiros 80   m com uma força variável, descrita pelo gráfico abaixo.

Tome g = 10   m / s 2 .

a) Calcule o trabalho total realizado pelo trator sobre o bloco.

b) Sabendo que o bloco chega totalmente em repouso ao fim dos 100   m , encontre o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso.

c) Ache a velocidade do bloco na posição x = 80   m .

Passo 1

a)

Basta calcular a área do gráfico! :)

A área do trapézio azul é:

1,0 * 10 3 + 4,0 * 10 3 2 * 40 = 5,0 * 10 3 * 20 = 100 * 10 3 = 10 5

Show! E pra área do retângulo verde, temos

80 - 40 * 4,0 * 10 3 = 40 * 4,0 * 10 3 = 160 * 10 3 = 1,6 * 10 5

Então a área total do gráfico é:

10 5 + 1,6 * 10 5 = 2,6 * 10 5

Então o trabalho do trator sobre o bloco é 2,6 * 10 5   J .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Pelo teorema trabalho-energia cinética, temos:

W t o t a l = Δ E c = m 2 ( v f 2 - v 0 2 )

Repare que o bloco começa o trajeto do repouso e também termina em repouso. Logo,

v 0 = v f = 0

Ou seja:

Δ E c = 0   ⇒ W t o t a l = 0

Passo 3

Além disso, nessa questão só temos o trabalho do trator e o do atrito, então

W t o t a l = W t r a t o r + W a t r i t o = 0

E o trabalho do trator já calculamos na letra (a)!

W t r a t o r = 2,6 * 10 5   J

Logo,

W a t r i t o = - W t r a t o r = - 2,6 * 10 5   J

Passo 4

Por outro lado, temos

W a t r i t o = F a t * d * cos ⁡ θ

  • F a t é a força de atrito:
  • F a t = μ c * N

  • d é a distância na qual o atrito atua, ou seja a distância percorrida pelo bloco:
  • d = 100   m

  • θ é o ângulo entre o sentido da força de atrito e o deslocamento do bloco. Como o atrito se opõe ao movimento:

  θ = 180 o ⇒ cos ⁡ θ = - 1

Portanto, temos

W a t r i t o = μ c * N * 100 * - 1 = - μ c * m g * 100

O enunciado nos dá m = 500   k g e g = 10   m / s 2 então:

W a t r i t o = - μ c * 500 * 10 * 100 = - μ c * 5,0 * 10 5

Passo 5

Beleza, pelo teorema trabalho-energia cinética, achamos

W a t r i t o = - 2,6 * 10 5   J

E calculando o trabalho, obtivemos

W a t r i t o = - μ c * 5,0 * 10 5

Portanto:

- 2,6 * 10 5 = - μ c * 5,0 * 10 5

⇒ 2,6 = 5 μ c

⇒ μ c = 2,6 5 = 0,52

Passo 6

c)

Agora queremos a velocidade v 80 do bloco com x = 80   m .

Podemos usar de novo o teorema trabalho-energia cinética!

W t o t a l = Δ E c = m 2 ( v f 2 - v 0 2 )

Note que a partir dos 80   m , o trator não empurra mais o bloco, logo

W t o t a l = W a t r i t o

Ou seja, de 80   m a 100   m , temos

W a t r i t o = m 2 v f 2 - v 80 2

Já vimos que o bloco está em repouso com x = 100   m , então v f = 0 . Portanto,

W a t r i t o = - m 2 v 80 2

E como m = 500   k g :

W a t r i t o = - 500 2 v 80 2 = - 250 v 80 2

⇒ W a t r i t o = - 2,5 * v 80 2 * 10 2

Passo 7

Beleza, então vamos calcular o trabalho realizado pela força de atrito entre x = 80   m e x = 100   m :

W a t r i t o = F a t * d * cos ⁡ θ

⇒ W a t r i t o = μ c * m g * 100 - 80 * ( - 1 )

Usando μ c = 0,52 , m = 500   k g e g = 10   m / s 2 , isso dá:

W a t r i t o = - 0,52 * 500 * 10 * 20

⇒ W a t r i t o = - 0 , 52 * 5 * 10 2 * 2 * 10 2

⇒ W a t r i t o = - 0,52 * 10 * 10 4 = - 5,2 * 10 4   J

Passo 8

Ótimo, estamos quase acabando! Vimos que

W a t r i t o = - 2,5 * v 80 2 * 10 2

E acabamos de achar W a t r i t o = - 5,2 * 10 4   J , então a equação vai ficar

- 5,2 * 10 4 = - 2,5 * v 80 2 * 10 2

⇒ 5,2 * 10 2 = 2,5 * v 80 2

⇒ 5,2 * 100 2,5 = v 80 2

⇒ 5,2 * 40 = v 80 2

⇒ v 80 = 52 * 4

⇒ v 80 = 13 * 4 * 4

⇒ v 80 = 4 13 ≈ 14,4   m / s  

Resposta

a) 2,6 * 10 5   J

b) 0,52

c) 4 13 ≈ 14,4   m / s

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