Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Origem do Exercício

Um bloco de massa m   desliza por uma superfície como mostra a figura abaixo. A superfície tem atrito só na rampa que forma um ângulo θ com a horizontal; este atrito tem um coeficiente cinético μ c . Assuma que o bloco parte do repouso.

Parte I .

  1. Usando somente conceitos de energia, determine o valor da altura máxima y m á x em função dos dados conhecidos, isto é, ( μ c ,   θ   e   h ) .
  2. Parte I I : Seja F → x = - A x + B x 2 î   uma força conservativa, dada em Newtons, que atua sobre um corpo de 2,0 k g onde A e B são duas constantes positivas e x é dado em metros. Utiliza ∫ C x n = C . x n + 1 n + 1 .

  3. Supondo A = 4 N / m , B = 3 N / m 2 , encontre a variação de energia potencial e a variação de energia cinética, quando a força desloca o corpo de x = 2,0 m para x = 3,0 m . Despreze qualquer atrito.

Passo 1

a)

Podemos analisar esse problema considerando a variação da energia mecânica causada pelo trabalho da força de atrito.

Bom, de início, o bloco possuía uma energia mecânica E M 1 . Ao passar pela superfície de atrito, a força de atrito gerou uma dissipação de parte dessa energia. Após esse processo, o bloco passou a ter uma energia mecânica E M 2 .

Ou seja, a energia mecânica não se conservou nesse trajeto.

A energia mecânica E M 1 pode ser calculada considerando o fato de que a energia mecânica inicial era apenas potencial e valia:

E M 1 = m g h .

E a energia mecânica final também é só potencial e vale:

E M 2 = m g y m á x

Podemos escrever:

E M 1 + W a t = E M 2

m g h + W a t = E M 2

Quanto vale o trabalho da força de atrito? Vale o trabalho realizado pelo atrito numa distância d . Essa distância d é a hipotenusa do triângulo que representa o plano inclinado na figura, enquanto y m á x é o cateto oposto, o que nos leva a escrever:

y m á x = d s e n θ → d = y m á x s e n θ

Como a força de atrito é dada por:

F a t = μ N = μ m g c o s θ

Então:

W a t = - μ m g c o s θ . d = μ m g c o s θ y m á x s e n θ = - μ m g y m á x c o t g θ

Assim:

m g h - μ m g y m á x c o t g θ = m g y m á x

Simplificando:

y m á x = h - μ y m á x c o t g θ

y m á x 1 + μ c o t g θ = h → y m á x = h 1 + μ c c o t g θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Parte II:

b)

Bom, o que sabemos sobre forças conservativas? Primeiro: O trabalho delas não altera a energia mecânica. Segundo:

W c o n s = - ∆ U = ∆ K

Aplicando os valores de A e B pra nossa força:

F x = - 4 x + 3 x 2 î  

Bom, agora precisamos calcular o trabaçho dela. Como fazemos isso? Basta a gente integrar:

W = ∫ F d x = ∫ 3 x 2 - 4 x d x = x 3 - 2 x 2

Agora precisamos aplicar para os valores x = 2,0 m   e   x = 3,0 m :

W = 3 3 - 2.3 2 - 2 3 - 2.2 2 = 9 J

Show?

Então, usando a relação que vimos mais ali pra cima, a variação da energia potencial será:

∆ U = - 9 J

E a variação de energia cinética vai ser:

∆ K = 9 J

Resposta

a)

y m á x = h 1 + μ c c o t g θ

b)

∆ U = - 9 J

∆ K = 9 J

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