4) Um bloco de massa m = 10 k g é solto, a partir do repouso, em um plano inclinado de 45 ° em relação à horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c = 0,5 . Depois de percorrer uma distância d = 2 m ao longo do plano inclinado, o bloco colide com uma mola de constante k = 800 N / m , de massa desprezível, que se encontrava inicialmente relaxada, de acordo com o esquema mostrado na figura ao lado.

d) Se o coeficiente de atrito estático com o plano é de μ e = 0,8 , o bloco continua parado ou começa a subir o plano inclinado depois de parar completamente?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

No item c) desse problema, vimos que a velocidade do bloco no instante que ele atinge a mola é de V ≅ 3,76 m / s ou V 2 = 10 2 m / s a partir daí, queremos calcular se, ao atingir a compressão máxima da mola, o bloco permanece parado ou se a mola empurra o bloco pra cima, dado que o coeficiente de atrito estático é dado por μ e = 0,8 .

Mas então como fazemos para responder essa pergunta? 🤔

Nesse caso, podemos usar a regra de conservação de energia para energia não conservativas.

Não fez sentido nenhum, não é? 👀

A ideia é considerar a energia inicial do sistema, a energia final do sistema e a energia que é dissipada pelo atrito entre o bloco e o plano inclinado. Ou seja

E n e r .   I n i c i a l = E n e r g .   F i n a l - E n e r g .   D i s s i p a d a

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Inicialmente, quando o bloco encosta na mola, o bloco possui energia cinética já que o bloco está em movimento e também possui energia potencial gravitacional, já que após encostar na mola, o bloco ainda percorre uma distância x .

A energia cinética é dada pela equação

K i = m V 2 2

Pelo enunciado, vimos que m = 10 k g e vimos que V 2 = 10 2 m / s , logo

K i = 10 · 10 2 2 = 50 2   J

Agora, a energia potencial gravitacional é dada como

U i = m g h

Onde m = 10 k g , g = 10 m / s 2 e h é a variação de altura que o bloco sofre ao comprimir a mola. Ou seja, h = x · s e n θ ...

U i = 10 · 10 · x · s e n 45 °

U i = 50 2 x   J

Tranquilo até aqui? 👍

Passo 3

No momento final, quando o bloco para devido a ação da mola, a energia o sistema vai ter, é dada pela energia que a mola aplica sobre o bloco e a energia que a força de atrito dissipa ao percorrer a distância x .

A energia potencial elástica é dada pela equação

U f = k x 2 2

Se k é a constante elástica da mola k = 800 N / m e x é o valor que queremos encontrar, então

U f = 800 x 2 2

U f = 400 x 2   J

E a energia dissipada pelo atrito do bloco com o plano é dada pelo trabalho realizado pela força de atrito, ou seja, a força multiplicada pelo deslocamento

W f = F a t · x

A força de atrito é dada por

F a t = -   μ c · N

Que por sua vez, a força normal N é dada por

N = m · g · s e n θ

Substituindo tudo em W f , vamos obter

W f = -   μ c · m · g · s e n θ · x

Substituindo μ c = 0,5 , m = 10 k g , g = 10 m / s 2 e θ = 45 ° ...

W f = -   0,5 · 10 · 10 · s e n 45 ° · x

W f = -   25 2 x   J

Legal, né? 😁

Passo 4

Dessa forma, se a energia inicial é dada por

E n e r .   I n i c i a l = K i + U i

Já a energia final é dada por

E n e r g .   F i n a l = U f

E a energia dissipada é dada por

E n e r g .   D i s s i p a d a = W f

Portanto, substituindo esses resultados na equação que descrevemos no passo 1, temos

E n e r .   I n i c i a l = E n e r g .   F i n a l - E n e r g .   D i s s i p a d a

50 2 + 50 2 x = 400 x 2 - -   25 2 x

400 x 2 -   25 2 x - 50 2 = 0

Calculando as raízes desse polinômio que obtemos que x , no seu ponto de compressão é dado por

x = 0,47 m

Está acompanhando? 👀

Passo 5

Por fim, para finalmente sabermos que a mola empurra o bloco para cima ou se o bloco permanece parado, temos que comparar a força que a mola faz no bloco com a soma da força de atrito estático que o bloco sofre ao ser empurrado e da força gravitacional que o bloco sofre.

O módulo da força de atrito estático é dado por

F a t = μ e · N

Já vimos que a força normal é dada por N = m · g · s e n θ , portanto

F a t = μ e · m · g · s e n θ

Se o coeficiente de atrito estático é dado por μ e = 0,8 , temos

F a t = 0,8 · 10 · 10 · s e n 45 °

F a t = 40 2   N ≅ 56,57   N

Já o módulo da força que a mola faz no bloco é dado por

F e l a = k · x

Se k = 800 N / m e x = 0,47 m , então

F e l a = 800 · 0,47

F e l a = 376 N

E por fim, o modulo da força gravitacional no sentido do movimento é dado pela lei do cosseno onde

F g = m g = 10 · 10 · cos ⁡ 45 °

F g = 50 2   N ≅ 70,71   N

Comparando as forças no ponto que que a mola está na sua compressão máxima, temos que se a força elástica for maior que a soma das forças gravitacionais e de atrito, o bloco sobe, caso o contrário, o bloco permanece parado

F e l a = 376 N

F g + F a t = 127,28 N

Vemos que F e l a > F g + F a t , logo, o bloco sobe devido a ação da mola!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

O bloco sobe devido a ação da mola!

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