Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Trabalho e Energia Cinética

Um bloco de massa m é solto em repouso do alto de um plano inclinado de ângulo θ =   45 ° em relação ao plano horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c . Depois de percorrer uma distância d ao longo do plano, o bloco colide com uma mola de constante elástica k , de massa desprezível, que se encontrava relaxada.

  1. Marque as forças atuantes sobre o bloco no momento da compressão. Calcule o trabalho realizado por cada uma das forças atuantes no problema desde o alto do plano até compressão máxima sofrida pela mola. Ache também o trabalho realizado pela força resultante.
  2. Ache a compressão sofrida pela mola para m   = 10 k g ,   θ = 45 ° , μ c = 0,5 , d   = 2 m e k   = 800   N / m .
  3. Qual é a energia dissipada pelo atrito durante o trajeto máximo do bloco desde o alto do plano até compressão máxima sofrida pela mola?
  4. Após a compressão, a partícula retorna à sua posição de equilíbrio e liberta-se da mola, subindo ao longo do plano inclinado. Até que altura ela sobe?

Passo 1

a)

No momento da compressão as forças serão essas daí, saca só!

O trabalho da Força Peso será justamente τ = P . ∆ h . O nosso ∆ h será a distância d percorrida, somada à deformação x da mola tudo multiplicado pelo s e n θ , pois só queremos a variação de altura. Logo, teremos que:

W p e s o = m g s e n θ [ x + d ]

O trabalho da Normal vai ser nulo, pois como o bloco percorre um caminho perpendicular a essa força, ao fazer o produto escalar, teremos:

W N o r m a l = N . L = N L c o s 90 ° = 0

O trabalho da Força de Atrito será dado por:

W F a t = - F a t . L = - μ c m g c o s θ x + d

E o Trabalho da Força Elástica, como é de frenamento vai ser negativa, dada por simplesmente:

W F e l = - k x 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos utilizar a energia mecânica pra calcular isso aqui.

∆ E m e c =   τ F a t

Utilizando como origem da referência do sistema o ponto mais baixo que a mola atingiu, teríamos que lá em cima do plano a energia mecânica total era:

E M e c = K + U = U = m g x + d s e n θ

E no final, no ponto mais baixo, a mola estará parada no ponto de origem do sistema e sua deformação será x , logo a energia mecânica final será somente potencial elástica:

E M e c = 1 2 k x 2

Logo

∆ E m e c = 1 2 k x 2 - m g x + d s e n θ = τ F a t

Substituindo τ F a t

1 2 k x 2 - m g x + d s e n θ = - μ c m g c o s θ x + d

k x 2 2 + μ c cos ⁡ θ - s e n θ m g x + μ c cos ⁡ θ - s e n θ m g d = 0

Como resolver isso aqui direto seria muuuuiiito chato, vamos substituir os valores numéricos do enunciado

800 x 2 2 + 0,5 × cos ⁡ 45 ° - s e n 45 ° 10 × 9,8 × x + 0,5 × cos ⁡ 45 ° - s e n 45 ° 10 × 9,8 × 2 = 0

400 x 2 - 34,65 x - 69,30 = 0

Agora resolvendo essa equação por Bhaskara

x = 34,65 ± - 34,65 2 - 4 × 400 × - 69,30 2 × 400

Resolvendo a equação do segundo encontraremos que:

x 1 = 0,46 m

x 2 = - 0,37 m

Como só nos interessa a solução com deformação positiva vamos ter

x = 0,46 m

Passo 3

c)

Simples demais, é só tacar a fórmula que descobrimos no Passo 1.

W F a t = - F a t . L = - μ c m g c o s θ x + d

W F a t = 0,5 ⋅ 10 ⋅ 9,8 ⋅ 2,46 2 = - 85,2 J

Foram dissipados 85,2 J pela força de atrito.

Passo 4

d)

Calculando agora pelo Teorema Trabalho- Variação da Energia Cinética, teremos:

∆ K = τ

K f - K i = τ = - K i

K i que é a energia cinética do bloco assim quando solto da mola, por sua vez é dada por:

K i = k x 2 2 - - μ c m g c o s θ x - m g x s e n θ

O trabalho será dado por:

τ = τ F a t + τ P e s o = - μ c m g c o s θ . h - m g h s e n θ

τ = - K i

- μ c m g c o s θ . h - m g h s e n θ = - k x 2 2 + μ c m g c o s θ x + m g x s e n θ

Substituindo toooooodos os valores, inclusive de x da letra b, teremos que:

h = 0,25 m

Resposta

a) W F e l = - k x 2 2

W p e s o = m g s e n θ x + d ,

W N o r m a l = 0 ,

W F a t = - μ c m g c o s θ x + d .

b) x = 0,46 m

c) W F a t = - 85,2 J

d) h = 0,25 m

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