Duas caixas de massas m 1 = 1,6   K g e m 2 = 3,2   K g deslizam para baixo em um plano inclinado com θ = 30   ° com a horizontal. As caixas são ligadas por uma haste rígida sem massa paralela ao plano, conforme a figura ao lado. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa 1 e o plano é μ 1 = 0,4 ; e entre a caixa 2 e o plano é μ 2 = 0,2 .

a ) Qual a tração na haste?

b ) Qual a aceleração das massas?

c ) Se as posições das caixas fossem invertidas, o que mudaria nas respostas anteriores? Explique fisicamente a diferença.

Passo 1

Eaew, tudo certo contigo?

Aqui temos um problema de plano inclinado, mas o nosso bloquinho é um pouco mais complicado que o normal! Os blocos têm massa m 1 = 1,6   K g e m 2 = 3,2   K g , deslizam cada um com um coeficiente de atrito diferente com a superfície, respectivamente, temos μ 1 = 0,4 e μ 2 = 0,2 . Dada que a inclinação do plano é de θ = 30 ° precisamos encontrar

Alternativa a ) , a tração na haste, em que vamos precisar montar o diagrama de forças e utilizar a segunda lei de Newton para relacionar as forças presentes no sistema!

Alternativa b ) , a aceleração das massas, lembrando que este corpo se move como um só, já que a haste é rígida, a expressão para a aceleração vai ser obtida manipulando as equações que obtivemos na alternativa anterior

Alternativa c ) Será que mudar a posição das caixas faz alguma diferença? Pense um pouco sobre isso, mas é uma questão conceitual! No final discutimos com mais calma!

Vamos resolver então este problema! Bora lá!

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer o diagrama de forças, temos o seguinte

A segunda lei de Newton diz que

∑ i F → i = m   a →

para cada um dos corpos, em cada direção independente do sistema. Nós temos duas direções que importam, a paralela ao plano e a perpendicular ao plano. Primeiro, para o corpo de massa m 1 , temos a equação paralela ao plano como

P 1 x → + T → + f a t 1 → = m 1 a →

e, a equação perpendicular ao plano, temos que

P 1 y → + N 1 → = 0 →

igual ao vetor nulo, pois não há movimento perpendicular ao plano! De maneira bastante análoga temos para o corpo de massa m 2 , as seguintes equações

P 2 x → + T → + f a t 2 → = m 2 a →

e, também que

P 2 y → + N 2 → = 0 →

Todas essas equações estão escritas em suas formas vetoriais. No próximo passo vou escrevê-las sob a escolha de que o sentido positivo é para baixo, assim como lembrar de algumas definições! Belezinha? Saca só!

Passo 3

Considerando como a direção paralela ao plano como x ^ e com sentido positivo descendo pelo plano, e para a direção perpendicular y ^ com sentido positivo apontando para fora do plano, temos que nossas equações se tornam

| P 1 x | → x ^ + | T | → x ^ - | f a t 1 | →   x ^ = m 1 | a → |   x ^           ( 1 )

- | P 1 y | →   y ^ + | N 1 | →   y ^ = 0 →           ( 2 )

| P 2 x | →   x ^ - | T → |   x ^ - | f a t 2 | →   x ^ = m 2 | a → |   x ^           ( 3 )

- | P 2 y | →   y ^ + | N 2 | →   y ^ = 0 →           ( 4 )

Vamos usar estas quatro equações para obter a tração | T → | . Primeiro, vamos obter quem são as componentes de ambas as forças peso, e as forças de atrito, em termos dos dados do enunciado! Vem comigo!

Passo 4

Para ambas as forças peso podemos montar o seguinte triângulo retângulo

Portanto, para cada uma delas podemos identificar que

P x → = | P → |   s e n ( θ )   x ^ = m g   s e n ( θ )   x ^

e, também que

P y → = - | P → |   c o s ( θ )   y ^ = - m g   c o s ( θ )   y ^

Agora, vamos obter as forças de atrito! Lembra qual é a definição? Saca só!

Passo 5

A força de atrito cinético é definida como

f a t → = - μ   | N → |   x ^

se o sentido positivo de x ^ é o sentido do movimento (em nosso caso SIM!). Usando as equações 2 e 4 temos que a força normal pode ser obtida em termos de P y → para cada bloquinho, temos que

| N → |   x ^ = m g   c o s ( θ )   x ^  

e, portanto, a nossa força de atrito pode ser escrita como

f a t → = - μ   m g   c o s ( θ )   x ^

Vamos agora voltar para as equações que dominam o movimento! E reescrevê-las! Vamo que vamo!

Passo 6

As equações que importam agora são apenas as equações 1 e 3 , temos que elas podem ser escritas como

m 1 g   s e n ( θ ) x ^ + | T | → x ^ - μ 1 m 1 g   c o s ( θ )   x ^ = m 1 | a → |   x ^           ( 1 ' )

m 2 g   s e n ( θ )   x ^ - | T → |   x ^ - μ 2 m 2 g   c o s ( θ )   x ^ = m 2 | a → |   x ^           ( 3 ' )

Vamos dividir 1 ' por m 1 e 3 ' por m 2 apenas para simplificar, temos que

g   s e n ( θ ) x ^ + 1 m 1 | T | → x ^ - μ 1 g   c o s ( θ )   x ^ = | a → |   x ^  

g   s e n ( θ )   x ^ - 1 m 2 | T → |   x ^ - μ 2 g   c o s ( θ )   x ^ = | a → |   x ^

Note que como as acelerações são iguais para os dois bloquinhos (eles se movem juntos), podemos simplesmente igualar as duas equações acima e obter

g   s e n ( θ ) x ^ + 1 m 1 | T | → x ^ - μ 1 g   c o s ( θ )   x ^ = g   s e n ( θ )   x ^ - 1 m 2 | T → |   x ^ - μ 2 g   c o s ( θ )   x ^

podemos cortar os termos de g   s e n ( θ ) e colocar ambas as trações | T → | do mesmo lado da equação, obtendo

1 m 1 | T | → x ^ + 1 m 2 | T → |   x ^ = μ 1 g   c o s ( θ ) x ^ - μ 2 g   c o s ( θ )   x ^

Colocando termos comuns em evidência, podemos obter a seguinte expressão

| T → | [ 1 m 1 + 1 m 2 ] x ^ = [ μ 1 - μ 2 ] g   c o s ( θ )   x ^

Fazendo um MMC podemos escrever que

1 m 1 + 1 m 2 = m 2 + m 1 m 1 m 2

De forma, que podemos isolar a nossa tração como

| T → | x ^ = m 1 m 2 m 1 + m 2 [ μ 1 - μ 2 ] g   c o s ( θ )   x ^         ( 5 )

Maravilha! Agora é só substituir valores! E obtemos que

| T → | = ( 1,6 ) ( 3,2 ) ( 1,6 ) + ( 3,2 ) [ ( 0,4 ) - ( 0,2 ) ] ( 10 ) c o s ( 30 ) ≈ 1,86   N

Maravilha! A primeira alternativa já foi! Vamos fazer a próxima agora! Bora lá!

Passo 7

Precisamos achar a aceleração agora! Eu guardei a equação ( 5 ) para isso, pois substituindo ela na equação ( 1 ' ) ou ( 3 ' ) , obtemos que

m 1 g   s e n ( θ ) x ^ + m 1 m 2 m 1 + m 2 [ μ 1 - μ 2 ] g   c o s ( θ ) x ^ - μ 1 m 1 g   c o s ( θ )   x ^ = m 1 | a → |   x ^           ( 1 ' )

dividindo tudo por m 1 , evidenciando g   c o s ( θ ) , temos que

g   s e n ( θ ) x ^ + m 2 m 1 + m 2 [ μ 1 - μ 2 - μ 1 ] g   c o s ( θ ) x ^ = | a → |   x ^           ( 1 ' )

Portanto, temos que a aceleração será dada por

| a → |   x ^ = g   s e n ( θ )   x ^ - μ 2 m 2 m 1 + m 2 g   c o s ( θ )           ( 6 )   x ^

Substituindo valores, temos que

| a → |   = ( 10 )   s e n ( 30 ° )   - ( 0,2 ) ( 3,2 ) ( 1,6 ) + ( 3,2 ) ( 10 )   c o s ( 30 ° )   ≈ 3,84   m / s 2

Aí está a nossa aceleração! Vou rapidamente discutir a alternativa c ) aqui, note pelo conjunto de equações de 1 à 6 , que alterar a ordem das caixas seria indiferente, já que o corpo se move como um só! Então, não faria diferença alguma! A questão é isso pessoal! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

| T → | ≈ 1,86   N , | a → |   ≈ 3,84   m / s 2 e inverter as caixas não muda o resultado!

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