Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

O deslocamento de uma carga da base de um plano inclinado até o topo é feito por um dispositivo análogo ao da figura ao lado. Ele é constituído por uma caixa, de massa m A = 100   k g , presa na extremidade de um cabo. O cabo passa por uma roldana no topo do plano inclinado e tem um contrapeso, de massa m P = 500   k g , em sua outra extremidade. Próximo ao topo existe uma mola de constante elástica k = 40.000   N / m . As superfícies da caixa e do plano inclinado são rugosas, com coeficiente de atrito cinético μ C = 0,35 . O ângulo θ que o plano inclinado faz com a horizontal é 25°. Liberando o contrapeso a partir do repouso, a caixa é puxada pelo cabo. Ela pode transportar cargas de até m C = 400   k g , por uma distância L = 80   m , desde a base do plano até o ponto de máxima compressão da mola x , quando então a caixa é parada pela mola, antes que o contrapeso chegue ao solo. Considere o cabo e a roldana ideais. Utilize sen ⁡ 25 ° = 0,423 ; cos ⁡ 25 ° = 0,906 e g = 10   m / s 2 .

a) Use conceitos de trabalho e energia para obter a compressão máxima da mola x em função de m A , m P , m C , μ C , L , k , θ , e g quando a caixa estiver com a carga máxima. Calcule o valor de x .

b) Encontre a expressão teórica para a velocidade máxima da caixa. Utilize x para a compressão máxima da mola e despreze o atrito neste caso. Responda em função das variáveis do problema.

Passo 1

(a)

Considerando a caixa com carga máxima, podemos utilizar o teorema trabalho-energia, temos então:

W R e s - N ã o   C o n s e r v a t i v a s = Δ E M

W a t + W N = Δ E p o t - t o t a l - g r a v + Δ E m o l a

A força normal é sempre perpendicular a trajetória, então ela não realizará trabalho. Fica assim:

- f a t L = m A + m C g L sen ⁡ θ - m p g L + 1 2 k x 2

- μ C m A + m C g L cos ⁡ θ = m A + m C g L sen ⁡ θ - m p g L + 1 2 k x 2

x 2 = 2 g L k [ m p - m A + m C sen ⁡ θ + μ C cos ⁡ θ

x 2 = 2   .   10   .   80 40000 500 - 500 0,423 + 0,35   .   0,906 = 20 1 - 0,7401

x 2 = 5,198

x = 2,28   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b)

A velocidade máxima da caixa ocorre quando a aceleração nela for zero, ou seja, o somatório das forças será nulo:

m p g - m A + m C g sen ⁡ θ - k x v = 0

x v = m p g - m A + m C g sen ⁡ θ k

Portanto, a distância percorrida pela caixa é ( L - x + x v ) . A equação de conservação da energia mecânica toma a forma:

0 = m A + m C g L - x + x v sen ⁡ θ - m p g L - x + x v + 1 2 k x v 2 + 1 2 m A + m C v 2

v = 2 m A + m C m p g L - x + x v - m A + m C g L - x + x v sen ⁡ θ - 1 2 k x v 2 1 2

Resposta

(a) x = 2,28   m

(b) v = 2 m A + m C m p g L - x + x v - m A + m C g L - x + x v sen ⁡ θ - 1 2 k x v 2 1 2

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