Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Na figura temos um pequeno bloco de massa M em quilogramas, que parte do ponto A numa superfície horizontal com velocidade v A = 6,50   m / s . O percurso é sem atrito até o trecho de comprimento L = 10   m , em que o coeficiente de atrito cinético é μ = 0,640 . As alturas indicadas são H = 6,00   m e h = 2,00   m . Considere a origem do potencial como sendo no ponto A.

(a) Determine as energias potencial e cinética do bloco no ponto B (responda em função da massa do bloco).

(b) Determine a velocidade do bloco no ponto C.

(c) O bloco atinge o ponto D? Caso a resposta seja afirmativa, determine a velocidade do bloco nesse ponto; caso a resposta seja negativa. Calcule a distância que o bloco percorre na parte com atrito.

Passo 1

Na letra (a), queremos U B e K B .

Temos informações sobre a velocidade e altura no ponto A, então conseguimos calcular a energia nesse ponto.

Mas será que a energia mecânica se conserva ao longo do trajeto?

Em todos os pontos do trajeto do ponto A ao C, temos duas forças agindo sobre o bloco, a normal e o peso:

A força peso é uma força conservativa e por isso não retira energia do sistema, apenas converte energia potencial U em cinética K e vice-versa.

Já a força normal é uma força não-conservativa, entretanto ela não realiza trabalho, pois ela é sempre perpendicular ao deslocamento do bloquinho. Assim, a força normal também não retira energia do sistema.

Então, a resposta é sim! A energia mecância se conserva:

E M 0 = E M

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Passo 2

Como temos as informações sobre o bloco no ponto A, podemos igualar a energia mecânica do ponto A aos outros pontos do trajeto.

Qual é a energia mecânica em A?

Aqui temos que tomar muito cuidado com o referencial. Normalmente colocamos o referencial no ponto de menor altura do trajeto, entretanto o enunciado já define o referencial no ponto A, portanto quando o bloco desce ainda mais, ele terá uma energia potencial negativa.

Em A, o bloco terá uma energia cinética K A relativa a sua velocidade v A e sua energia potencial U A será nula, pois está no nosso referencial:

E M A = K A + U A

E M A = M v A 2 2 + 0

Passo 3

Já no ponto B, temos uma energia cinética K B e uma energia potencial U B :

E M B = K B + U B

Lembrando que a energia potencial em B é negativa:

E M B = K B + M g - H

E M B = K B - M g H

Passo 4

Vamos escrever a conservação de energia:

E M A = E M B

M v A 2 2 = K B - M g H

Substituindo os valores, temos:

M 6,5 2 2 = K B - M 10 6

K B = 21,125 M + 60 M

K B = 81,1 M

Como sabemos que a massa M está em quilogramas (SI), podemos dizer que a energia certamente estará em J :

K B = 81,1 M   J

A questão também pede o valor especificamente da energia potencial em B, que já calculamos:

U B = M g - H

U B = - 60 M   J

Passo 5

Na letra (b), queremos a velocidade no ponto C.

Para isso, vamos conservar a energia mecânica do ponto A para o ponto C e achar a energia cinética nesse ponto K C .

A partir da energia cinética K C , conseguimos a velocidade v C .

Passo 6

Então, temos que:

E M A = E M C

K A = K C + U C

Qual será a “altura” que o bloco está no ponto C?

Se nosso referencial está no ponto A, ele desceu uma altura:

Então, temos em U C :

M v A 2 2 = M v C 2 2 + M g - H - h

M v A 2 2 = M v C 2 2 - M g H - h

Cortando as massas, temos:

v C 2 2 = v A 2 2 + g H - h

v C 2 = v A 2 + 2 g H - h

Substituindo os valores:

v C 2 = 6,5 2 + 2 10 6 - 2

v C 2 = 42,25 + 80

v C = 122,25

v C = 1 1,1   m / s

Passo 7

Na letra (c), queremos saber se o bloco chega no ponto D ou não.

Se a energia se conservasse de C a D, teríamos a seguinte equação:

U C + K C = U D + K D

Como eles estão na mesma altura, a energia potencial U dos dois é igual, então:

K C = K D

Porémmmm, temos um trecho com atrito entre os dois pontos, assim, o trabalho da força de atrito W F a t irá retirar energia do sistema conforme o bloco anda.

Queremos saber se ele chega ao outro lado.

Para saber isso podemos calcular quanto de energia a força de atrito retira do sistema ao longo desse trajeto W F a t . Aí vamos olhar para a energia cinética em C K C .

Se K C for menor que W F a t , o bloco não tem energia suficiente para passar o trecho e vai parar antes de D.

Se K D for maior que W F a t , o bloco tem energia suficiente para passar o trecho e vai chegar em D com uma velocidade v D .

Passo 8

Vamos calcular W F a t .

Como a força de atrito atua contra o movimento, seu trabalho é negativo. Porém, só nos interessa o valor em si de energia retirada do sistema, ou seja vamos calcular o módulo disso:

W F a t = F a t d

Como o atrito é cinético, a F a t será:

W F a t = μ c N d

Como o bloco está em equilíbrio na vertical, a força normal será igual ao peso:

W F a t = μ c M g d

Substituindo os valores, temos:

W F a t = 0,64 M 10 10

W F a t = 64 M

Agora, vamos olhar para a energia cinética em C:

K C = M v C 2 2

K C = M 11,1 2 2

K C = 61,6 M

Opaa, como não há energia cinética suficiente, o bloco vai parar no meio do trajeto com atrito e não chegará em D.

Passo 9

Precisamos calcular qual distância o bloco percorre, então vamos usar o teorema trabalho-energia cinética:

W = ∆ K

Sendo a energia cinética final igual a zero:

W F a t = K - K C

W F a t = 0 - K C

Agora, vamos utilizar o sinal correto do trabalho da força de atrito:

- F a t d = - K c

F a t d = K c

Então a distância d será:

d = K C F a t

d = K C μ C M g

Substituindo os valores, temos:

d = 61,6 M 0,64 M 10

d = 61,6 M 6,4 M

d = 9,6   m

Então o bloco quaaaaase chega em D, mas para depois de andar 9,6   m .

Resposta

(a) U B = - 60 M   J

K B = 81,1 M   J

(b) v C = 11,1   m / s

(c) O bloco não atinge o ponto D, ele para após percorrer 9,6   m .

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