Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Um bloco de madeira de massa m 1 está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal de atrito desprezível. Uma mola ideal tem uma de suas extremidades ligada ao bloco enquanto a outra extremidade está ligada a uma parede. Inicialmente a mola não está distendida nem comprimida. Uma bala de massa m 2 , com velocidade horizontal de módulo v 0 , atinge o bloco e nele fica alojada, fazendo com que a mola seja comprimida de uma distância ∆ x .

a) Qual o módulo v b da velocidade do bloco imediatamente após ser atingido pela bala?

b) Qual a constante elástica k 0 da mola?

c) Supondo agora que exista atrito entre o bloco e o chão com um coeficiente de atrito cinético entre as superfícies µ . Calcule qual deve ser a constante elástica k ' de uma outra mola que substituiu a primeira para que a compressão máxima da mola continue sendo ∆ x .

Passo 1

Na letra (a), queremos a velocidade do conjunto (bloco+bala) após a colisão.

Quando temos uma colisão, temos que verificar se o momento linear se conserva.

Ele se conserva quando não há nenhuma força externa atuando no sistema, que nesse caso é o bloco e a bala.

Mas e a mola? Ela não gera uma força nesse sistema??

A mola gera uma força elástica F e l à medida que ela é deformada:

F e l = k x

Ou seja, no instante da colisão, não há nenhuma força elástica porque a mola não se deformou ainda.

Assim, temos a conservação do momento linear.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a conservação do momento linear:

p 0 = p

Inicialmente, temos apenas a bala em movimento:

p 0 = m 2 v 0

Enquanto no final, temos que o conjunto do bloco com a bala saem juntos com uma mesma velocidade v b :

p = m 1 + m 2 v b

Juntando tudo na equação da conservação, temos:

p 0 = p

m 2 v 0 = m 1 + m 2 v b

v b = m 2 v 0 m 1 + m 2

Passo 3

Na letra (b), queremos a constante elástica da mola k 0 .

Temos como dado a deformação da mola ∆ x .

Como a força da mola varia à todo instante com a sua deformação, resolver esse problema por cinemática ficaria mais difícil.

Então, um bom caminho aqui é resolver por energia.

A única força que vai atuar durante o movimento após a colisão é a força elástica.

Como a força elástica, assim como a força peso, não alteram a energia total do sistema (forças conservativas), temos a conservação da energia mecânica:

E M 0 = E M

Passo 4

A energia mecânica é a soma da energia cinética K com a energia potecial U :

E M 0 = E M

K 0 + U 0 = K + U

Logo após a colisão, a mola ainda não está deformada e por isso ão há energia na forma de potencial elástica. Toda a energia está na forma de energia cinética.

Enquanto na situação onde a mola chegou em sua compressão máxima e o sistema parou, toda a energia está na forma de potencial elástica e não sobra nenhuma parcela na forma de energia cinética:

K 0 + 0 = 0 + U

K 0 = U

Passo 5

A energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

Então, na situação inicial, temos:

K 0 = m 1 + m 2 v b 2 2

Substituindo a expressão para v b que achamos no PASSO 2:

K 0 = m 1 + m 2 2 m 2 v 0 m 1 + m 2 2

K 0 = m 2 2 v 0 2 2 m 1 + m 2

Passo 6

Já aa energia potencial elástica é dada por:

U e l = k x 2 2

Na situação final, temos que a deformação da mola foi de ∆ x :

U = k 0 ∆ x 2 2

Passo 7

Juntando as expressões, temos:

K 0 = U

m 2 2 v 0 2 2 m 1 + m 2 = k 0 ∆ x 2 2

Isolando k 0 , ficamos com:

k 0 = m 2 2 v 0 2 m 1 + m 2 ∆ x 2

Passo 8

Já na letra (c), a situação muda um pouco.

Como temos atrito, o sistema iria dissipar energia ao longo do deslocamento, fazendo o bloco parar antes da situação da letra (b).

Então, para que o bloco consiga ter o mesmo deslocamento que antes, precisamos colocar uma nova mola de constante elástica k ' .

Queremos descobrir esse k ' .

Passo 9

Como temos atrito atuando, a energia mecânica não se conserva mais...

Então, podemos utilizar qualquer uma das duas expressões:

O teorema trabalho-energia cinética:

W t o t = ∆ K

Ou então, que a variação da energia mecânica é o trabalho das forças não conservativas:

∆ E M = W N C

Vamos usar a segunda.

Nesse caso, a única força não conservativa atuando é a força de atrito, então:

E M - E M 0 = W F a t

Passo 10

A energia mecânica inicial estará toda na forma de energia cinética, igual ao que já fizemos para a letra (b):

E M 0 = m v 2 2

E M 0 = m 1 + m 2 v b 2 2

E M 0 = m 1 + m 2 2 m 2 v 0 m 1 + m 2 2

E M 0 = m 2 2 v 0 2 2 m 1 + m 2

Passo 11

Já a energia mecânica final estará toda na forma de energia potencial elástica:

E M = k x 2 2

Sendo que a nova constante elástica da mola é k ' e a deformação é a mesma ∆ x :

E M = k ' ∆ x 2 2

Passo 12

Por último, vamos calcular o trabalho da força de atrito nesse deslocamento W F a t .

O trabalho da força de atrito é dado pelo produto escalar entre a força e o deslocamento:

W F a t = F → a t ∙ d →

Como a força de atrito está contrária ao deslocamento, temos:

W F a t = - F a t d

A força de atrito é dada por μ N enquanto o deslocamento do bloco será a mesma distância que a deformação da mola ∆ x :

W F a t = - μ N ∆ x

W F a t = - μ N ∆ x

Além disso, temos que a força normal está em equilíbrio com a força peso do bloco e da bala (na vertical), assim a força normal será:

N = P 1 + P 2

N = m 1 + m 2 g

Temos:

W F a t = - μ m 1 + m 2 g ∆ x

Passo 13

Juntando todas as expressões na equação de energia, ficamos com:

E M - E M 0 = W F a t

k ' ∆ x 2 2 - m 2 2 v 0 2 2 m 1 + m 2 = - μ m 1 + m 2 g ∆ x

Isolando k ' , temos:

k ' ∆ x 2 2 = m 2 2 v 0 2 2 m 1 + m 2 - μ m 1 + m 2 g ∆ x

k ' = m 2 2 v 0 2 m 1 + m 2 ∆ x 2 - 2 μ m 1 + m 2 g ∆ x

Pronto, chegamos na resposta apenas em função dos parâmetros conhecidos.

Podemos ainda deixar a resposta mais bonitinha...

Repare que o primeiro termo é exatamente igual a k 0 :

k 0 = m 2 2 v 0 2 m 1 + m 2 ∆ x 2

Então, ficamos com:

k ' = k 0 - 2 μ m 1 + m 2 g ∆ x

Resposta

(a) v b = m 2 v 0 m 1 + m 2

(b) k 0 = m 2 2 v 0 2 m 1 + m 2 ∆ x 2

(c) k ' = m 2 2 v 0 2 m 1 + m 2 ∆ x 2 - 2 μ m 1 + m 2 g ∆ x

Ou

k ' = k 0 - 2 μ m 1 + m 2 g ∆ x

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