Questão 3). Na figura ao lado, o bloco 1 , de massa m , encontra-se inicialmente em repouso a uma altura h , em uma pista sem atrito. O bloco 1 é liberado e colide com o bloco 2 , de massa 2 m , que estava inicialmente em repouso. Após a colisão, os blocos permanecem unidos e deslizam sobre a região com atrito e param depois de percorrerem uma distância d . Sabendo que h = 3,6   d , determine o coeficiente de atrito cinético µ c entre os blocos e o trecho com atrito. Os blocos são feitos do mesmo material. (Lembre-se que o coeficiente de atrito é uma grandeza adimensional)

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos um bloco de massa m no alto de uma rampa de altura h . A rampa não possui atrito com o bloco e ao ser solto, o bloco escorrega até a base da rampa onde colide com outro bloco de massa 2 m .

Depois da colisão, os dois blocos ficam unidos e deslizam por cima de outra superfície que tem atrito cinético µ c percorrendo uma distância d até parar.

Se a distância h é igual a 3,6 d qual é o valor do coeficiente de atrito cinético µ c ?

Tem ideia de como fazer isso?? 🤔🤔

Para essa questão temos que ter em mente o conceito de conservação de energia e de momento linear.

Ta afiado nesse assunto? 😁

Se não tiver não tem problema!

O conceito de conservação de energia nos diz que se não há dissipação de energia como atrito por exemplo, a energia inicial do sistema é igual a energia final.

Mas quando temos alguma energia dissipativa a energia inicial é igual a energia final menos a energia dissipada.

Já o conceito de conservação do momento linear é bem parecido. Ele diz que o momento linear inicial é igual ao momento linear final.

Mas vamos com calma! Vamos começar do início.

Passo 2

Temos um bloco parado no topo de uma rampa sem atrito de altura h , ou seja, nosso bloco 1 possui energia potencial gravitacional nesse momento.

Que é dada pelo produto da massa · aceleração gravitacional · altura, ou seja

U = m g h

O bloco é solto e desliza sob a rampa até chegar à base.

Pelo princípio da conservação de energia (como não há energia dissipada), vemos que toda energia potencial se transforma em energia cinética.

K = U

m V 2 2 = m g h

Simplificando m dos dois lados e isolando V em um lado da igualdade, temos

V 2 2 = g h

V 2 = 2 g h

V = 2 g h

Com isso vemos que a velocidade do bloco é 2 g h ao chegar na base da rampa.

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

A segunda etapa desse problema diz que ao chegar na base da rampa, o bloco 1 colide com o bloco 2 que permanecem se movendo juntos.

Aqui entra o conceito da conservação do momento linear.

O momento linear é obtido pelo produto entre a massa do objeto e sua velocidade. Se o momento P é conservado, então

P i n i c i a l = P f i n a l

Inicialmente o bloco 1 , de massa m , se movimenta com uma velocidade V e o bloco 2 , de massa 2 m está parado, ou seja

P i n i c i a l = m V + 2 m 0 = m V

No fim, os dois blocos se juntam e passam a se movimentar a uma velocidade que vamos chamar de V '

P f i n a l = m V ' + 2 m V ' = m + 2 m V '

P f i n a l = 3 m V '

Igualando os dois momentos, temos

P i n i c i a l = P f i n a l

m V = 3 m V '

Uhuul! Relacionamos as velocidades antes e depois da colisão. Agora vamos juntar isso no resultado que achamos no último passo.

Se calculamos anteriormente que V = 2 g h , então

m 2 g h = 3 m V '

Simplificando m dos dois lados e isolando V ' em um lado da equação

2 g h = 3 V '

V ' = 2 g h 3

Assim, vemos que imediatamente antes de mudar de superfície a velocidade dos blocos é 1 / 3 da velocidade inicial do bloco 1 .

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Nessa terceira etapa do problema, vamos considerar os blocos 1 e 2 como uma só, já que após a colisão os blocos se uniram.

Pelo princípio de conservação de energia quando há dissipação, temos que

E i n i c i a l = E f i n a l - W d i s s i p .

Ou seja, a energia inicial é igual a energia final menos o trabalho realizado pela força dissipativa.

No caso a energia inicial é dada pela energia cinética dos blocos.

K ' = m + 2 m V ' 2 2

Simplificando a equação e se V ' = 2 g h 3 , então

K ' = 3 m 2 g h 3 2 2

Como a b 2 = a 2 b 2 e como a 2 = a , então

K ' = 3 m 2 g h 2 3 2 2

K ' = 3 m 2 g h 9 2

Simplificando um pouco mais, temos

K ' = m 2 g h 3 2

K ' = m g h 3

Portanto a energia cinética inicial é dada por m g h 3 .

Interessante, não é? 😎

A energia final é 0 , não é? Isso porque no fim os blocos estão parados, então a energia cinética é 0 e como não há mudança de altura, a energia potencial também é 0 .

Isso significa que toda a energia inicial é dissipada pelo atrito. Ou seja, a energia dissipada por atrito é igual a energia cinética que acabamos de calcular!

Tá mas quem é a força de atrito?

Passo 5

A força de atrito é dada por

F a t = - µ c N

Onde N é a força normal dos blocos dada pelo produto entre a massa e a aceleração gravitacional

N = M g

Portanto a força de atrito é dada por

F a t = - µ c m g

Mas como a massa do nosso conjunto agora é 3 m , então

F a t = - µ c 3 m g

Podemos obter a energia dissipada por essa força calculando o trabalho realizado por essa força.

O trabalho de uma força é obtido pelo produto entre ela mesma e a distância percorrida, no nosso caso será

W d i s s i p . = F a t d

W d i s s i p . = - µ c 3 m g d

No enunciado foi dito que h = 3,6 d , ou seja, d = h 3,6 , fazendo essa substituição em W , temos

W d i s s i p . = - µ c 3 m g h 3,6

Estamos chegando na reta final! 😁

Bora lá!

Passo 6

Substituindo as energias que calculamos em E i n i c i a l = E f i n a l - W d i s s i p . , temos

E i n i c i a l = E f i n a l - W d i s s i p .

m g h 3 = 0 - - µ c 3 m g h 3,6

m g h 3 = µ c 3 m g h 3,6

Simplificando os dois lados cortando m , g e h , temos

1 3 = µ c 3 3,6

Isolando µ c em um lado da equação, vamos obter

µ c = 3,6 9

µ c = 0,4

No fim do problema foi dito “Lembre-se que o coeficiente de atrito é uma grandeza adimensional”

Perceba que o resultado que obtemos independe de qualquer grandeza, ou seja, é adimensional! Isso valida nossa resposta.

Então o coeficiente de atrito cinético entre os blocos e a superfície é 0,4 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

µ c = 0,4

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