Um bloco de massa m = 10 k g é solto, a partir do repouso, em um plano inclinado de 45 ° em relação à horizontal, com coeficiente de atrito cinético μ c = 0,5 . Depois de percorrer uma distância de d = 2 m ao longo do plano inclinado, o bloco colide com uma mola de constante k = 800 N / m , de massa desprezível, que se encontrava inicialmente relaxada, de acordo com o esquema mostrado na figura ao lado.

a) Qual é a compressão sofrida pela mola?

Passo 1

Oi oi galerinha, por aí tá tudo certo??

Vamos começar traduzinho esse enunciado aí hein! Vem comigoo!

O enunciado nos diz que um bloco de massa m = 10 k g deslizou uma distância d = 2 m em um plano inclinado de 45 ° , até encontrar uma mola de constante de k = 800 N / m , considerando que o bloco atritou com coeficiente de atrito cinético de μ c = 0,5 . Não conseguiu imaginar? Olha o desenho do nosso probleminha...

Nossa missão vai ser determinar quando a mola é comprimida à medida que o bloco desliza para baixo!

Passo 2

O segredo aqui vai ser determinar a energia mecânica no início da compressão, beleza? Então, para simplificar o problema, vamos dividir em duas partes!

Antes do bloco atingir a mola:

Aqui a energia mecânica inicial é perdida em parte devido ao atrito, colocando isso em uma fórmula, teremos:

Δ E = W f a t

E f - E i = W f a t

E f = E i + W f a t

Sabendo que o trabalho do atrito é dissipativo e, portanto, deve ser representado com sinal negativo na equação. Assim, a energia mecânica que antes era apenar gravitacional, passa a ser escrita como:

E f = m g h - m d g u c c o s 45 °

Como h = d s e n 45 ° , podemos substituir na equação e fazer a famosa simplificada pra facilitar nossa vida!

E f = m g h ( s e n 45 ° - u c c o s 45 ° )

Agora, substituindo apenas os valores dados no enunciado, teremos que a energia final equivale a:

E f = 10 * 9,8 * 2 1 2 - 1 2 2 = 69,3   J

Passo 3

A segunda parte é,

Após atingir a mola:

Aqui a variação de energia mecânica da nossa massa ocorrerá devido ao atrito e À transferência de energia para a mola se comprimir, show? Então temos

Δ E = E f - E i                           ( 1 )

Nós vamos ter que ter um pouquinho de maldade pra não cair na pegadinha nesse passo, pois nessa etapa a energia mecânica final é só energia potencial gravitacional, já que queremos a compressão máxima da mola, ou seja, quando a velocidade do bloquinho chegar a 0 e k = 0 .

Δ E = E f - E i = U g - 69,3

Para não confundirmos, vamos pensar agora que na posição de equilíbrio da mola o potencial gravitacional é 0, então se o bloquinho desceu uma altura de h até a compressão toda da mola seu deslocamento foi de –h.

U g = m g ( - h )

Portanto, a variação de energia mecânica é

Δ E = - m g h - 69,3

Usando a mesma relação entre altura e deslocamento x no plano temos h = x s e n 45 °

Δ E = - m g x s e n 45 ° - 69,3

Além disso, o resto da equação (1) ficaria da seguinte forma:

W f a t = - m g x u c c o s 45 °

U e l = k x 2 2

Teremos:

- m g x s e n 45 ° - 69,3 = - m g x u c c o s 45 ° - k x 2 2

Podemos reescrevermos formato equação do segundo grau

k x 2 2 + m g x u c c o s 45 ° - s e n 45 ° - 69,3 = 0

a = k 2 = 400

b = m g u c c o s 45 ° - s e n 45 ° = - 34,6

c = - 69,3

Substituindo na equação para achar as raízes.

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 0,46 m

Resposta

a )             0,46 m

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