Exercícios Resolvidos de Atrito e Forças não Conservativas

Energia Potencial e Conservação da Energia

Um bloco de massa m e dimensões desprezíveis encontra-se sobre um plano horizontal. Ele comprime uma mola de constante elástica k no pondo A de uma distância d em relação à posição O ; conforme mostra a figura. Liberado neste ponto a partir do repouso ele percorre o trajeto A - O - B perdendo contato com a mola no ponto O , onde a mola está relaxada. Somente entre O   e B , separados de uma distância desconhecida há atrito. O coeficiente de atrito cinético entre as superfícies do bloco e do plano μ c na região O - B . Após o ponto B   há uma rampa sem atrito. A partir do ponto C , final da rampa, a superfície é horizontal e tem uma altura H em relação à horizontal do trecho A - O - B ; vide a figura.

  1. Determine a velocidade do bloco no ponto O ;
  2. Determine a distância D   entre os pontos O   e B , dispondo que a velocidade do bloco em B   é nula;
  3. Determine a compressão mínima, x min , da mola necessária para que o bloco atinja o ponto C no topo da rampa.

Passo 1

Vamos primeiro escrever os dados do enunciado

Dados k d μ c H g

Isso vai servir para conferirmos se nossas respostas estão de acordo com os dados que temos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos considerar o chão como sendo o local onde o bloco começa o movimento.

a)

Não temos atrito nem outras forças dissipativas ao longo de A - O . Então

E m A = E m O

Vamos achar a energia mecânica em cada ponto, começando pelo ponto A .

E m A = U e l

Porque não temos velocidade, e o bloco está no chão. Então

E m A = k Δ x 2 2

Como a mola vai estar relaxada em O , a deformação dela em A é a distancia de O para A .

Δ x = d

Então

E m A = k d 2 2

Passo 3

Vamos agora achar a energia mecânica no ponto O .

E m O = K

Porque a mola está relaxada, e o bloco está no chão. Então

E m O = m v O 2 2

Passo 4

Então temos

k d 2 2 = m v O 2 2

v O 2 = k d 2 m

v O = k d 2 m

Passo 5

b)

Nesse trecho temos a força de atrito atuando, que é uma força dissipativa então teremos

W dissipativo = Δ E m

W f a t = E m B - E m O

Já temos a energia mecânica em O . Precisamos encontrar a energia mecânica em B e o trabalho da f a t , vamos chamar de D a distancia entre O e B .

W f a t = - f a t ⋅ D

Já vimos em muitos outros exercícios que, no caso do bloco no plano

f a t = μ c ⋅ N = μ c m g

Então

W f a t = - μ c m g ⋅ D

Passo 6

Temos que encontrar a energia mecânica em B

E m B = 0

Ela é zero, porque não temos energia potencial gravitacional, por estarmos no chão, não temos energia potencial elástica por não ter mola em contato, e não temos energia cinética porque a velcodaide é zero.

Passo 7

Juntando todas essas formulas

W f a t = E m B - E m O

- μ c m g ⋅ D = - m v O 2 2

Podemos substituir a energia mecânica em O pela energia potencial elástica, por que até esse ponto não há perda de energia (lembra do Passo 4?):

μ c m g ⋅ D = k d 2 2

D = k d 2 2 m g μ c

Passo 8

c)

A compressão mínima deve ser tal que a energia cinética no ponto C seja zero, que é a menor quantidade de energia necessaria.

Como temos o trecho O B que gera uma perda de energia devemos ter

W dissipativo = Δ E m

W f a t = E m C - E m A

Já vimos no item b) que

W f a t = E m B - E m O

W f a t = - k d 2 2

E também vimos no item a) que dado a compressão da mola

E m A = k x mín 2 2

Passo 9

Falta descobrirmos a energia mecânica em C .

E m C = U g

Isso acontece porque a velocidade é zero, e não temos mola enconstando no bloco nesse ponto.

E m C = m g H

Passo 10

Recaptulando temos

W f a t = E m C - E m A

W f a t = k d 2 2

E m A = k x mín 2 2

E m C = m g H

Então

- k d 2 2 = m g H - k x mín 2 2

x mín 2 = 2 m g H k + d 2

x mín = 2 m g H k + d 2

Resposta

  1. v O = k d 2 m

  2. D = k d 2 2 m g μ c

x mín = 2 m g H k + d 2

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