Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Calcule

L 1 - cos ⁡ t t .

Passo 1

O grande segredo dessa questão é se ligar nessa propriedade aqui das transformadas de Laplace.

Imagina que você tem uma função f t que tem F s como transformada:

L f t = F s

Então:

L f t t = ∫ s ∞ F u d u

Esse u aí de cima não é ninguém específico, é só uma variável qualquer!

Passo 2

Beleza? Percebeu a semelhança com a nossa questão? No nosso caso:

f t = 1 - cos ⁡ t

Então:

F s = L f t = L 1 - cos ⁡ t

Lembrando que a transformada de Laplace é um operador linear. Ou seja, vale essa propriedades aqui:

L f t + g t = L f t + L g t

Isso quer dizer que a gente pode fazer o seguinte:

F s = L 1 - cos ⁡ t = L 1 - L cos ⁡ t

Essas duas transformadas você já deve ter decorado, ou pode consultar uma tabela.

A transformada do cosseno é:

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

E a tranformada da constante 1 é:

L 1 = 1 s

Isso quer dizer que:

F s = L 1 - L cos ⁡ t

F s = 1 s - s s 2 + 1

Passo 3

Ok, já “calculamos” a primeira parte daquela propriedade que a gente viu lá no passo 1 :

L f t = F s

L 1 - cos ⁡ t = 1 s - s s 2 + 1

E a outra parte da propriedade diz que:

L f t t = ∫ s ∞ F u d u

Ou seja:

L 1 - cos ⁡ t t   = ∫ s ∞ 1 u - u u 2 + 1 d u

Ótimo! Essa transformada aí da esquerda é exatamente o que a questão pediu. Agora nossa tarefa é simplesmente calcular aquela integral ali do lado direito.

Passo 4

Vamos começar dividindo a integral em duas:

I = ∫ s ∞ 1 u - u u 2 + 1 d u

I = ∫ s ∞ 1 u d u - ∫ s ∞ u u 2 + 1 d u

A primeira integral é:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

E a integral da direita é:

∫ u u 2 + 1 d u = 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 + C

Então:

I = ln ⁡ u - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 ∞ s

Transformando aquele 1 / 2 em um expoente dentro do logaritmo:

I = ln ⁡ u - ln ⁡ u 2 + 1 ∞ s

E lembrando que ln ⁡ a - ln ⁡ b = ln ⁡ a b , a gente chega nesse resultado aqui:

I = ln ⁡ u u 2 + 1 ∞ s

Agora é só substituir os limites de integração:

I = lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ u u 2 + 1 - ln ⁡ s s 2 + 1

Passo 5

Pra resolver aquele primeiro limite, a gente pode dividir a fração por u 2 no numerador e no denominador:

lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ u u 2 + 1

lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 u 2 u 1 u 2 u 2 + 1

lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 1 + 1 u 2

Então, quando o u tende ao infinito aquela fração vai tender a zero:

lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 1 + 0 = ln ⁡ 1 = 0

Voltando para a nossa integral:

I = 0 - ln ⁡ s s 2 + 1

I = ln ⁡ s 2 + 1 s

Andamos bastante, mas lembra que essa integral que a gente está resolvendo era essa aqui:

L 1 - cos ⁡ t t   = ∫ s ∞ 1 u - u u 2 + 1 d u = I

Então:

L 1 - cos ⁡ t t   = ln ⁡ s 2 + 1 s

Pronto! Essa é a resposta final

Resposta

A transformada da função é ln ⁡ s 2 + 1 s .

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Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞