Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.

d )   y ' ' - 4 y ' + 3 y = 6 t - 8 ,   y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Olá galerinha, tudo certo por aí?

Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):

y ' ' - 4 y ' + 3 y = 6 t - 8 y 0 = 0 y ' 0 = 0

Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?

Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:

1 ) Aplicar Laplace à EDO;

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!

Vem comigo 😊

Passo 2

Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.

L y ' ' - 4 y ' + 3 y = L { 6 t - 8 }

Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:

L y ' ' - 4 L y ' + 3 L y = L { 6 t - 8 }

Massa!

Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem n :

L y n = s n L y - s n - 1 y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - s 1 ⋅ y n - 2 ( 0 ) - y n - 1 ( 0 )

Show! Vamos então aplicar essa fórmula em L { y ' ' } e em L { y ' } . Temos:

L y ' ' = s 2 L y - s 1 ⋅ y 0 - y ' ( 0 )

Substituindo os valores iniciais:

L y ' ' = s 2 L y

Boa! Vamos agora para L { y ' } :

L y ' = s ⋅ L y - y ( 0 )

= s ⋅ L y

Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:

s 2 L y - 4 s ⋅ L y + 3 ⋅ L y = L { 6 t - 8 }

Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade.

Pela linearidade:

L 6 t - 8 = 6 L t - 8 L { 1 }

Como:

L t = 1 s 2 L 1 = 1 s

Logo:

L 6 t - 8 = 6 ⋅ 1 s 2 - 8 ⋅ 1 s

Substituindo na EDO, ficamos com:

s 2 L y - 4 s ⋅ L y + 3 ⋅ L y = 6 s 2 - 8 s

Muito bom!

Passo 3

Vamos para a próxima etapa!

2 ) Isolar L { y } , encontrando uma expressão para a transformada de y (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu):

Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar L { y } :

s 2 L y - 4 s ⋅ L y + 3 ⋅ L y = 6 s 2 - 8 s

L y s 2 - 4 s + 3 = 6 s 2 - 8 s

L y = 6 s - 8 s 2 - 4 s + 3

Prontinho!!

Passo 4

3 ) Decompor a expressão de L { y } em frações parciais;

No passo anterior encontramos:

L y = 6 s - 8 s 2 - 4 s + 3

Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.

s 2 - 4 s + 3 = 0

Por inspeção, temos s = 1   e s = 3 . Daí, temos:

6 s - 8 s 2 - 4 s + 3 = 6 s - 8 ( s - 1 ) ( s - 3 )

Daí, para separar em frações parciais, vamos ter:

6 s - 8 ( s - 1 ) ( s - 3 ) = a s - 1 + b s - 3

= a + b s + - 3 a - b s - 1 s - 3

Assim, igualando os polinômios do numerador, temos:

a + b = 6 - 3 a - b = - 8

Logo:

- 2 a = - 2

∴ a = 1

⇒ b = 5

Então, temos a seguinte separação em frações parciais:

L y =   6 s - 8 ( s - 1 ) ( s - 3 ) = 1 s - 1 + 5 ⋅ 1 s - 3

Muito bom pessoal! Já estamos acabando 😊

Passo 5

Agora vamos para a última etapa:

4 )   Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar y a partir da expressão encontrada na etapa anterior.

Bom, chegamos no passo anterior que:

L y =   1 s - 1 + 5 ⋅ 1 s - 3

Das transformações conhecidas, sabemos que:

L e a t = 1 s - a

Assim, já temos que:

L e 3 t = 1 s - 3

E:

L e 1 t = 1 s - 1

Daí, usando essas transformações e pela linearidade da transformação de Laplace, vamos ter:

L y = L { e 1 t + 5 ⋅ e 3 t }

Portanto, chegamos a conclusão que:

y = e 1 t + 5 ⋅ e 3 t

E é isso aí galera! Espero que vocês tenham gostado da solução 😊

Até a próxima!!

Resposta

y = e 1 t + 5 ⋅ e 3 t

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