Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

10. Suponha que F s = L f t exista para s > a ≥ 0 .

a) Mostre que se c é uma constante positiva, então

L f c t = 1 c F s c ,     s > c a .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão queremos mostrar que dada uma função f c t em que c é uma constante positiva, temos que a sua transformada é

L f c t = 1 c F s c

Tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔

Pra responder esse problema, temos que lembrar da fórmula da transformada

F s = L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Sacou? Bora lá? 😉

Passo 2

Substituindo f t por f c t na formula, temos

L f c t = ∫ 0 ∞ f c t e - s t d t

Agora vamos usar o método de substituição e chamar c t de v , assim, d t = 1 c d v e t = v c

L f c t = ∫ 0 ∞ f v e - s v c 1 c d v

L f c t = 1 c ∫ 0 ∞ f v e - s c v d v

E agora, voltamos para o domínio de t chamando v de t

I     L f c t = 1 c ∫ 0 ∞ f t e - s c t d t

Comparando esse resultado à fórmula da transformada, temos

I I     F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

E vemos que em I s está substituído por s / c então aplicando essa mudança em I I , temos

F s c = ∫ 0 ∞ f t e - s c t d t

Substituindo em I ...

L f c t = 1 c F s c

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

L f c t = 1 c F s c

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞